工程科学中的许多问题,例如地质学中地球体内部精细三维图的制作问题、弹性力学问题和电磁场的散射问题等,通常是由多个变量控制的,其数学模型常归结为多维奇异积分或多维积分方程。随着这些数学模型在越来越多的科学问题中出现,高效地计算多维奇异积分与多维积分方程成为了很多科研工作者的研究热点。由于奇异性和维数效应的影响,使得多维奇异积分和多维积分方程数值算法的研究更加困难。本文以提高计算精度和收敛速度为目的,对几类多维奇异积分与多维积分方程的数值算法进行了研究,主要研究内容如下:1.研究多维弱奇异积分的多参数误差渐近展开式,设计了一种基于外推与分裂外推技术的加速收敛算法。首先,利用Duffy变换,降低了多维点型弱奇异积分的奇异性。然后,运用迭代技术,构造多维弱奇异积分的求积公式,并推导出与之对应的多参数误差渐近展开式,使其不再局限于单参数形式。最后,根据所得的多参数误差渐近展开式,提出加速收敛算法,消除误差展开式中的低阶项,提高计算精度。同时,该算法具有高度并行性,有效避免了维数效应。数值实验验证了加速收敛算法的有效性。2.研究多维面型超奇异积分的多参数误差渐近展开式及分裂外推算法。考虑到超奇异积分在正常意义下不存在,首先探讨多维面型超奇异积分的Hadamard有限部分积分的存在条件。其次,借助迭代思想,构造多维面型超奇异积分的求积公式和多参数误差渐近展开式。最后,基于所得的误差渐近展开式,提出分裂外推算法,有利于并行计算,提高计算精度。另外,所提求积公式有效避免被积函数偏导数的计算。数值实验结果表明,分裂外推算法有效地加快了收敛速度。3.基于积分中值定理逼近多维积分的数值求积公式,提出一种新的Nystr(?)m法解多维Fredholm积分方程。将多维Fredholm积分方程转化为代数方程组。根据Nystr(?)m法思想,得到多维Fredholm积分方程在任意点的近似解,该方法结构简单易实现。在聚紧理论框架下证明了该方法的收敛性。特别地,深入研究了在参数α_i_j=1/2时所提Nystr(?)m法的误差渐近展开式。同时,结合分裂外推与周期变换技术,提高收敛速度。数值实验验证了所提方法的正确性与有效性。4.研究多维Urysohn积分方程的两种Sinc Nystr(?)m法。首先,基于单指数变换、双指数变换以及Sinc近似,构造多维积分的两种Sinc求积公式,并给出对应的误差估计式。随后利用两种Sinc求积公式,将多维Urysohn积分方程降低为非线性代数方程组。其次,将Netwon迭代过程与Nystr(?)m法相结合,得到多维Urysohn积分方程的近似解。最后,通过理论分析,证明了两种Sinc Nystr(?)m法的收敛性,其表明两种方法均具有指数收敛性质。相对于现有数值方法的多项式收敛阶结果,所提方法的收敛速度更快。数值实验验证了所提两种方法的有效性。5.基于二重模糊积分的Gauss求积公式和配置法的思想,提出了一种迭代算法解二维模糊Hammerstein积分方程。将二维模糊Hammerstein积分方程转化为非线性模糊系统,并设计了一种迭代法计算非线性模糊系统的数值解。进一步地,探讨了该算法的收敛性。该算法程序实现简单,降低了计算的复杂度,并具有较高的精度。数值实验验证了该算法优于现有的迭代算法。