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流体力学方程是偏微分方程研究中的重要对象.本文主要讨论流体力学方程研究中的两类问题.一类是流体的自由边界问题,我们将研究真空中的可压Euler-Poisson方程的局部适定性.另一类是弱解的局部正则性问题,我们考虑的是4维不可压缩Navier-Stokes方程及磁流体方程的解的局部正则性.首先,我们考察真空中的可压Euler-Poisson方程,这一模型通常被用以描述宇宙中气态星球的演化.真空中的可压理想流体方程的局部适定性一直以来是数学家们所关心的问题并且仅对单纯的Euler方程有了较好的结果[15,16,40,41].本文第三、第四章中分别就物理真空条件下的1维和3维可压Euler-Poisson方程建立了局部适定性.与Euler方程情形[15,16,40,41]类似,我们使用Lagrange坐标将自由边界问题转化为固定区域问题,并给出了Lagrange坐标下引力项的具体表达式,由此我们将Euler-Poisson方程解耦为带外力项的Euler方程.与Euler方程相比,引力项的出现给我们带来了新的困难,尤其是3维情形.3维情形下,引力项的表达式为卷积形式,因此其高阶导数估计中,卷积核可能出现奇性升高的情形.我们通过使用Taylor公式、Sobolev Cα估计等工具,平衡了卷积核升高的奇性,最终成功的得到了引力项的高阶导数估计.随后,我们引入了新的粘性构造K近似抛物方程.同时使用新的中间变量和不动点框架得到了近似方程的解.最后,我们通过给出一个κ无关先验估计证明了局部适定性.随后,在本文第五章中,我们考察了4维不可压缩Navier-Stokes方程的适当弱解的局部正则性.我们将Caffarelli, Kohn和Nirenberg著名的局部正则性结果推广到了4维.与3维相比,4维问题最大的困难是紧性的缺失.我们通过在局部能量不等式中选择不同于[59]的测试函数,得到了一个带有衰减项的估计,并以此估计为基础建立了新的迭代格式,从而得到了弱的衰减估计.最后通过自举论证和抛物正则性改进了衰减速率,这样我们就在没有使用紧性推理的情况下得到了Holder连续性和内部及边界的局部正则性.最后,本文第六章中,我们考察了4维不可压缩磁流体方程的适当弱解的边界局部正则性.我们通过使用与Navier-Stokes方程相类似的方法,给出了2类不同类型的ε正则性判别法.第一类仅要求速度场u的Lp,q范数有尺度不变意义下的小,这一类判别法来自于这样一个观察：局部能量不等式中与H相关的项同时都会与u相关,那么如果u有小性,那么这些非线性项都可以被控制.而另一类则要求Vu的时空L2范数有尺度不变意义下的小及磁场H或▽H的某一范数有界,这里H的范数有界性限制实际来自于压力P的估计.我们可以使用第二类ε正则性判别法来得到边界局部正则性.