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玻色—爱因斯坦凝聚(BEC)是近几十年来倍受关注的课题。它不仅提供了一个研究量子力学基本问题的宏观系统,而且在原子激光,量子计算等领域有着广泛的应用。本文简要介绍了玻色.爱因斯坦凝聚及其相关孤子态的相关理论、研究现状。文中首先论述了BEC的理论及实验进展和BEC的奇特的性质,然后讨论了亮、暗孤子的形成机制和实验发现。在平均场理论的框架下以Gross-Pitaevskii(GP)方程为主要模型,讨论了外势场中的玻色—爱因斯坦凝聚体的动力学和表现出来的孤子行为。GP方程为非线性偏微分方程,不能准确求解,一般采用数值法或者采取一些近似并给与一些限制对其解析求解。
本文分别从三种外势场出发,考虑到一些合理的近似,采用对处理复杂的非线性问题非常有效的多重尺度法、小振幅近似并结合数值模拟对GP方程进行了求解。结果显示:1)在纵横比λ<<1时,雪茄势中的BEC所满足的GP方程可变换为一维的NLS方程,此时BEC近似为准一维的行为,BEC密度的行为在动量空间中不仅可表现为单孤子形式,甚至可呈现出多孤子形式,这与目前的实验观测是相符的。2)碟形势中的GP方程可简化为KP Ⅰ方程,此势阱中的BEC呈现出一个准二维的行为,对于原子间为排斥势的情形,GP方程具有单孤子解,多孤子解和环暗孤子解,并对单孤子和双孤子的情况作了数值模拟。3)讨论了一维光晶格势和雪茄势中BEC的调制不稳定性的条件,得到了与实验相符的结论,即BEC暗孤子是稳定的,而BEC亮孤子则在一定条件下会产生调制不稳定性。