论文部分内容阅读
本文通过综合运用变分方法、临界点理论和分析技巧,研究了分数阶椭圆型方程解的存在性与多重性。首先,我们研究如下非局部分数阶椭圆型方程()(,),,0,,s n u u f x u x x Ruì?-D-l=?Wí??=?W其中nìWR为有界开区域并且具有光滑边界,sn>2,s?)1,0(,sD-)(表示分数阶Laplace椭圆算子并且定义为21()()2()()(),.2n s n n sR u x y u x y u xu x dy x R y+++----D=ò?在非线性项f满足下列两个条件时(f1)f:W′R®R是Carathéodory函数,且存在C>0与q?)2,1(,使得1(,)(1)qf x u C u-￡+;(f2)lim(,)t F x u®￥=+￥对所有xW?一致地成立,其中0(,)(,)uF x u=òf x s ds。我们通过利用山路引理、鞍点定理以及Ekeland变分原理得到:存在00e>,使得当),(101-?lell时,所研究的分数阶椭圆型方程至少存在三个解。然后,考虑分数阶椭圆型方程()(,),,0,.s n u f x u x u x Rì-D=?Wí=?W?其中nWìR为有界开区域并且满足光滑边界,n>2s,s?(0,1),f(x,u)?W′R是连续的,()s-D表示分数阶Laplace椭圆算子并且定义为.,)(2)()(21)()(2n Rsn sRxdy y xuyxuyxuxun?--++=D--ò+在非线性项f满足下列四个条件时(F1)f(x,-u)=-f(x,u)当所有的xW?且Ru?时成立;(F2)存在常数01a>,sn snr221-+<<,使得?W?",Rux,有1(,)(1).rf x u￡a+u(F3)对于所有的),(Rux′W?,都有ux F0),(3,以及￥=￥®2),(limu ux F u在W上一致成立,其中0(,)(,)uF x u=òf x s ds;(F4)存在常数M>0,使得M u xfuux Fu u<+-￥®1),(2),(suplim2在W上一致成立。通过运用喷泉定理得到:我们所研究的分数阶椭圆型方程存在无穷多解。