网格生成在数值计算领域占有非常重要的地位,在该领域中,有一些尚未解决的问题本质上是数学问题.例如,当考虑三维四面体网格的生成问题时,人们发现存在很多不可被三角分解的多面体,即在不添加新顶点（斯坦纳点）的前提下不能被四面体剖分的多面体.事实上,网格生成方法中的推进波前法（AFT）的收敛性问题,本质上就是这个问题.自1911年以来,不可被三角分解的多面体不断地被发现,且大部分都是非凸拟柱体,那么,什么样的非凸拟柱体是不可被三角分解的?如何判断一个非凸拟柱体是否可被三角分解?本文的第一个工作是给出非凸拟柱体不可被三角分解的一个判定方法.对于非凸拟柱体,首先说明它的侧边构成了嵌入在环柄上的扭结或2-链,当这个扭结或链平凡时,该拟柱体可被三角分解,然后说明拟柱体的可分解性等价于扭结或链的可分解性,即该扭结或链是否可被分解为两个扭结或链的和,最后证明拟柱体可被三角分解等价于拟柱体侧边构成的扭结或链可分解为一列平凡扭结的和.在上述过程中,需要验证一条封闭曲线或2-链是否平凡,事实上,这个问题可以转化为拓扑学中一个非常重要的问题—判断拓扑空间的两个嵌入是否同痕,这是本文介绍的第二个工作,所用的工具是1978年吴文俊先生在他的著作[1]中介绍的同痕不变量,即Haefliger-Wu不变量.Haefliger-Wu不变量是原拓扑空间去心积的上同调.给定一个嵌入在欧几里得空间的单纯复形,它的去心积具有分片线性结构,即CW复形,利用高斯映射将去心积中的每个胞腔映射为单位球面上的一个区域,则去心积在高斯映射下的像为单位球面同调群中的一个元素,而单纯复形的嵌入映射与高斯映射的复合映射构成了单位球面上同调群中的一个元素,我们称之为该嵌入映射的特征类.通过使用Mayer-Vietoris序列和K¨unneth定理,我们证明了闭曲面去心积的同调群的秩数与其亏格数的关系,并且给出了去心积同调群生成元的构造方案,从而提出了闭曲面嵌入的同痕不变量的计算方法.本文的前两个工作讨论非结构化四面体网格生成中的收敛性问题,而本文的第三个工作讨论网格自适应性的内容,即曲面上二维各向异性网格的生成问题.给定二维曲面及其各向异性的度量张量,生成曲面上与度量张量相关的各向异性网格.通过将目标曲面拟共形映射到一个标准区域,将目标曲面的各向异性网格生成问题转化为标准区域的各向同性网格生成问题,而后者的解决方案及相关理论发展成熟.得到各项同性的网格之后,用拟共形映射将它映射回目标曲面,则映射的像构成了曲面各向异性网格.不同于传统的各项异性网格生成工作,本文提出的算法具有较为完备的理论支撑,且可以处理各向异性性质较为复杂的网格生成问题.