在低温强磁场条件下,二维电子气中的量子霍尔效应是凝聚态物理发现的第一个不能用Landau对称破缺理论来解释的物质态例子。TKNN(Thouless,Kohmoto,Nightingale,and Nijs)指出了量子霍尔效应的本质特征是别于普通绝缘体的。当费米能级位于Landau能级的能隙中时,TKNN数(或者第一陈数)是量子化的整数值,该值是与系统霍尔电导有着紧密联系,体现在量子霍尔绝缘体和普通绝缘体的接触边界上有无能隙的边缘态出现。对于这种新奇的拓扑态要发生拓扑相变,系统必须伴随有能隙的闭合过程,有意思的是,1988年Haldane提出了一个二维无自旋的六角晶格模型,在该模型中引入交错磁通,可以实现没有Landau能级的量子霍尔效应。量子自旋霍尔(QSH)效应最初是Kane、Mele、和Bernevig、Zhang独立地理论上预言,随后在HgTe量子阱的实验中观测到这种新奇的物质态。与破坏时间反演对称的量子霍尔效应不同,QSH态却受时间反演对称性的保护。在QSH系统中,强自旋轨道耦合起着决定性的作用,它扮演着与自旋相关的有效磁通。QSH效应能带结构的主要特征是体能带有带隙以及在样品边界上有无能隙helical边缘态位于带隙中。然而,QSH系统体能带的拓扑性质不能由第一陈数来刻画,因它在时间反演对称的情况下总是等于0。这时我们需要寻找新的拓扑不变量来对其进行拓扑分类,比如Z2指标或者自旋陈数。对于时间反演对称的系统,Z2指标和自旋陈数被认为是等效的描述。与Z2指标的定义依赖于系统的时间反演对称性不同,自旋陈数不依赖于系统的任何对称性,它只需要系统体能带的带隙和自旋谱隙(spin spectrum gap)同时存在(这与陈数仅要求系统体能隙打开不同)。目前自旋陈数已经被广泛运用于描述时间反演对称破缺的QSH效应。QSH系统是拓扑绝缘体在二维情况下的例子,推广到三维情况就对应于三维拓扑绝缘体(3D TI)。3D TI是一种体内具有带隙的绝缘体而在样品的表面上却有金属性的表面态。其金属性的表面态为一些新奇物理性质的实现提供了良好的平台,比如Majorana费米子和拓扑磁电效应。在试验上发现Bi1-xSbx Bi2Te3和Bi2Se3等材料是3D TI,这更进一步激励了大家对该领域的研究。有时间反演对称的3D TI系统,通常用四个Z2指标把其分为两个拓扑类:强拓扑绝缘体和弱拓扑绝缘体。在无序存在的情况下,弱拓扑绝缘体是不稳定的,而强拓扑绝缘体却表现出很强的稳定性。Z2指标本质上仅在布里渊区中时间反演的高对称点上有定义,它不能提供更多描述表面态的信息,而且在时间反演对称破缺时Z2指标失效。因此一件非常有意义的事就是:寻求一个更为一般不依赖于任何对称性的方法,利用该方法不但可以描述系统的能带拓扑性质,还能给我们提供更多关于表面态在整个动量空间分布特征的信息。本论文通过计算自旋陈数来讨论破坏时间反演对称情况下的2D和3D TI模型的拓扑相变。本论文包括以下五章内容:在第一章中,简要的介绍本文有关的实验和理论背景,处理问题的理论方法,以及文中所涉及的物理概念等。在第二章中,我们研究了,在Rashba自旋轨道耦合和交换场存在情况下的QSH效应,这里的交换场破坏了时间反演对称。我们解析地计算了系统的自旋陈数Cs,并利用该不变量来对不同的拓扑相进行分类。发现在时间反演对称破缺情况下,存在自旋陈数为C± = ±1描述的QSH态。同时发现有从时间反演破缺的QSH相到量子反常霍尔相的拓扑转变,该相变点对应有一个临界的交换场,并且该处体能隙正好关闭。同时我们还指出,在能隙不闭合情况下,从时间反演破缺的QSH相到普通绝缘相的转变是不可能发生的。在第三章中,我们讨论了在交换场g存在下的三维拓扑绝缘体的相变问题。在研究过程中,我们把动量kz作为参数来处理,计算系统的自旋陈数C±(kz)。当|g|超过临界值gc,三维拓扑绝缘体进入Weyl半金属相,这里两个Weyl点把第一陈数不同的两区域分开。对于|g|<gc,随着|kz|增加到临界值kzc,C±(kz)经历了从±1到0的转变。这就对应于在|kz|<kzc区域有表面态出现,而在|kz|≥kc区域这些表面态消失。转变点发生在|kz|=kcz点,在该处自旋谱隙关闭而体能隙仍然存在。在第四章中,我们理论上讨论了,由超薄的三维拓扑绝缘体薄膜上下表面加上铁磁绝缘体而构成的(FI/TI/FI)三明治结构,并讨论该结构中拓扑绝缘体层的磁电阻效应。我们发现该拓扑绝缘体薄膜的电导是量子化为e2/h还是消失,这取决于两铁磁绝缘体的磁构型是平行还是反平行。并得到在这种结构中的拓扑绝缘体薄膜有拓扑相变和量子磁电阻效应。这里的拓扑绝缘体薄膜中电导的变化源于Bi2Se3薄膜从量子反常霍尔态到普通绝缘体态的转变,这种变化导致了量子化的磁电阻效应出现,并且它对无序散射具有很强的稳定性。在本文的最后一章,我们对本论文做一小结,并对未来的研究做了展望。