【摘 要】
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序结构、拓扑结构和代数结构并称数学中的三大母结构,三大结构的相互交叉与融合极大地推动了数学本身的发展.Stone对偶理论是20世纪30年代M.H.Stone在研究布尔代数和分配格的拓扑表示时建立起来的,该理论揭示了序结构和拓扑结构之间的深刻联系,使得利用序理论研究拓扑的方法日趋成熟和完善,同时也为利用拓扑空间理论研究序结构提供了强有力的工具.基于M.H.Stone的工作,各种格序结构的拓扑对偶受到
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序结构、拓扑结构和代数结构并称数学中的三大母结构,三大结构的相互交叉与融合极大地推动了数学本身的发展.Stone对偶理论是20世纪30年代M.H.Stone在研究布尔代数和分配格的拓扑表示时建立起来的,该理论揭示了序结构和拓扑结构之间的深刻联系,使得利用序理论研究拓扑的方法日趋成熟和完善,同时也为利用拓扑空间理论研究序结构提供了强有力的工具.基于M.H.Stone的工作,各种格序结构的拓扑对偶受到了众多学者的关注.空间式frame、分配连续格、分配并半格等格序结构的Stone型对偶先后被建立.近年来,随着序理论研究的深入,偏序集相关结构的研究受到了广泛的关注,分配偏序集、一般偏序集和强布尔偏序集的拓扑对偶被给出.定向完备偏序集作为一类特殊的偏序集,在函数式程序语言的指称语义研究中起着重要的作用.本论文主要针对定向完备偏序集及相关结构的拓扑对偶理论展开研究,主要研究工作及结果如下:第一部分研究有顶元定向完备偏序集与完备格的Stone型拓扑对偶.通过定义Scott开素子集并在其上赋予壳核拓扑,得到了有顶元定向完备偏序集的对偶空间.引入了SF-sober空间的定义,并探讨了其与sober性之间的关系,证明了对偶空间满足该性质.在此基础上,引入了-空间的概念,并建立了有顶元定向完备偏序集的拓扑对偶,证明了有顶元定向完备偏序集带有相应映射所构成的范畴对偶等价于-空间带有特定映射所构成的范畴.最后,将上述思想方法应用到完备格上,建立了完备格的拓扑对偶,证明了完备格带有完备格同态所构成的范畴与-空间带有相应映射所构成的范畴对偶等价.第二部分针对一般定向完备偏序集的拓扑对偶展开研究.以Scott拓扑为桥梁,借助定向完备偏序集的理想,定义了定向完备偏序集的对偶空间.通过研究该对偶空间的拓扑特征,引入了-空间的概念.由此建立了定向完备偏序集的拓扑对偶,证明了定向完备偏序集带有相应映射构成的范畴与-空间带有-连续映射构成的范畴对偶等价.第三部分研究c-dcpo的拓扑对偶.以-Scott拓扑为桥梁,借助c-dcpo的可数滤子,定义了c-dcpo的对偶空间.利用可数滤子的可数定向并仍是可数滤子,得到c-dcpo的对偶空间是一个特殊的-空间.通过分析对偶空间的拓扑性质,引入了(（8）-空间的概念,建立了c-dcpo的拓扑对偶,证明了c-dcpo带有特定映射所构成的范畴对偶等价于(（8）-空间带有相应映射所构成的范畴.
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