【摘 要】
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任给一个权函数为ω:E(G)→(0,∞)的边权图G=(V(G),E(G)),若将G中每一条边的权看作该边的电导(即电阻的倒数),则任一边权图等价于物理学中的一个电网络图.假设T(G)表示一个边权图G的所有生成树的集合,对任意一棵生成树T∈T(G),定义T的权ω(T)为它的所有边的权的乘积,即ω(T)=∏_(e∈E(T))ω(e).设t(G)表示图G的所有生成树的权之和,即t(G)=∑_(T∈T(G
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任给一个权函数为ω:E（G）→（0,∞）的边权图G=（V（G）,E（G））,若将G中每一条边的权看作该边的电导（即电阻的倒数）,则任一边权图等价于物理学中的一个电网络图.假设T（G）表示一个边权图G的所有生成树的集合,对任意一棵生成树T∈T（G）,定义T的权ω（T）为它的所有边的权的乘积,即ω（T）=∏e∈E（T）ω（e）.设t（G）表示图G的所有生成树的权之和,即t（G）=∑T∈T（G）ω（T）.显然,当G的每条边的权均为1时,t（G）等于图G的生成树的数目.利用电网络中的等价网络替换原理、广义星-三角形变换以及串并联法则等方法,本文首先给出了边权图的线图的定义,并研究了边权图的生成树的权和的计算问题,给出了相应的计数公式,推广了权函数为1的线图的生成树的计数方面的结果;第二,我们研究了与统计物理密切相关的一类所谓的广义Farey网络图的生成树的计算问题,得到了计数公式;最后,我们给出了电网络理论中著名的Foster定理的一个简单证明.
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