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本文讨论了有限群关于特征标的某些数量关系与群的结构之间的联系.在第2节里，我们定义μ(G)=|G|/|Irr(G)|，研究μ(G)的数量性质以及在适当条件下μ(G)对群的结构的影响，并得到以下定理：
定理2.1设p为|G|的最小素因子，设cd(G)={1，m1，m2，…，md}，1＜m1＜m2＜…＜md则μ(G)≥|G|m21/m21+|G|-1.特别地，μ(G)≥pm21/m21+p-1，等号成立当且仅当d=1且|G|=p.
定理2.2若群G不可解，则μ(G)≥12，且μ(G)=12当且仅当G()A5×A，A为交换群.
定理2.3若群G不可解，则μ(G)≥120/7，除非G()A5×A，或有N()G，使G/N()SL(2，5).其中A是交换群.
定理2.4设G是非交换有限群，(1)若|G/G|=2，则μ(G)≥2，且μ(G)=2当且仅当G()S3.
(2)若|G/G|=3，则μ(G)≥3，且μ(G)=3当且仅当G()A4.
同时，也讨论了μ(G)为某些较小整数时群G的结构和性质.如：定理2.5设G是非交换有限群，则下列条件等价：(1)μ(G)=2；(2)cd(G)={1，2}且|G|=3；(3)G/Z(G)()S3.
定理2.6G是有限群，则μ(G)=3当且仅当G/Z(G)()A4，D18，或＜a，b，c|a3=b3=c2=1，ab=ba，c-1ac=a-1，c-1bc=b-1＞.且对任意的x，y∈G，[x，y](-∈)Z*(G).
定理2.7设mincd1(G)≥3，则μ(G)=4当且仅当G/Z(G)是20阶Frobenius群，以G×Z(G)/Z(G)为核，其补是4阶循环群.
因为μ(G)是大于等于8/5的有理数.我们自然会问：是不是每个大于等于8/5的有理数a，都有群G使得μ(G)=a?关于这个问题我们有以下结果：命题2.1μ(G)≠7/3.
命题2.2若G是奇阶群，则μ(G)≠5.
命题2.3若G是奇阶群，则μ(G)≠7.
命题2.4若p是一个素数，则存在群G,使μ(G)=p-1.若n=∏p(p-1)，则存在群G，使μ(G)=n.
在第3节里，将利用轨道核研究当|cd(G)|=|G’|时群G的结构，得到如下两个定理：定理3.1G为有限群，且|cd(G)|=|G|，则G≤Z(G)，且G’为2-群.
定理3.2G为非交换有限群，且|cd(G)|=|G|,则(1)G()Z2当且仅当Irr1(G)的每个轨道核为1.
(2)G()Z4当且仅当Irr1(G)恰有一个轨道核不为1.
(3)G()Z2×Z2或G()Z8当且仅当Irr1(G)恰有3个轨道核不为1.并且G()Z2×Z2当且仅当这3个轨道核互不相等.
G()Z8当且仅当这3个轨道核中恰有两个轨道核是相等的.
在文献[9]中，Y.Berkovich给出了χ(1)素因子个数的一个上界，我们在第4节里对此结论进行了推广，并得到：定理4.1G为有限可解群，χ，ψ∈Irr1(G)，假设Irr(χ(-ψ))*={α1，α2，…，αn}.令Ω={∩i∈SKerαi|S(){1，2，…，n}}，并规定当S=Ф，取∩Kerαi为G.设N0∈Ω极大使[χN0，ψN0]≠0，则|π(χψ(1))|≤|Irr(χ(-ψ))*|+|π(G/N0)|.特别地，当χ=ψ时，|π(G/N0)|=0，从而|π(χ(1))|≤|Irr(χ(-χ))*|.