【摘 要】
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本文研究了一类具强阻尼项的非线性波动方程的初边值问题和一类具非线性阻尼项的非线性耦合Klein-Gordon方程组的Cauchy问题. 对于具强阻尼项的非线性波动方程的初边值问
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本文研究了一类具强阻尼项的非线性波动方程的初边值问题和一类具非线性阻尼项的非线性耦合Klein-Gordon方程组的Cauchy问题. 对于具强阻尼项的非线性波动方程的初边值问题,本文首先引入了位势井结构及其相关预备引理.其次,分别讨论了低初始能量和临界初始能量下解的整体适定性.在低初始能量下,利用反证法先得到了稳定集合和不稳定集合的不变性,再分别运用Galerkin方法和凸性方法,证明了解的整体存在性和爆破性质.而后我们通过乘子法对能量函数进行处理,得到了解的渐近性质.同时将以上结果用适当的方法推广到临界情形.最后,在任意高初始能量条件下,我们分别引入了新的稳定集合和不稳定集合,得到了初值在满足一定条件时弱解的整体存在性,同时我们运用凸性方法得到了解在有限时间内爆破的结果. 对于具非线性阻尼项的非线性耦合Klein-Gordon方程组的Cauchy问题,本文首先在位势井框架下定义能量恒等式及其相关泛函,并给出非线性源项所满足的假设条件,从而得到一些相关引理.其次,我们研究了低初始能量和临界初始能量下解的整体存在性和有限时间内的爆破性质.在低初始能量下,同样运用Galerkin方法得到了解的整体存在性.但在证明解的爆破性质时,我们引入了新的辅助函数,通过对辅助函数进行估计,得到了函数增长形式的矛盾性,从而证明了低能情况下解的爆破性质.在临界初始能量下,我们先证明了泛函J(u，v)和I(u，v)的相关性质,进而得到了解的整体存在性和爆破结果.最后,在任意高初始能量下,我们参考了第一类方程中高能部分的相关方法,证明了解在有限时间内的爆破性质.
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