人类之生存.总是与确定性及不确定性相伴.确定性,使得人类安居乐业;不确定性即随机性.使得人类对未来充满希冀、挑战和风险.但世间存在一类随机现象,我们称之为极端随机现象,如.2001年的“9.11”恐怖袭击、2004年的印度洋海啸、2005年的Kartrina飓风、2008年的汶川大地震、2010年的海地大地震、2011年的日本大地震及福岛核泄漏、2014年马来西亚的民航灾难,当然还有影响人类的全球金融危机和经济泡沫等.这些事件虽以很小的概率发生.但对自然界和人类社会极具破坏力.此类风险.不仅严重影响人类的生活与生存环境,同时也威胁为其承担风险面临巨额赔付的保险公司之生存.研究此等灾难性的极端随机现象,为各国政府、金融机构和概率统计学家等共同面对的课题.对极端随机现象的研究发端于Fisher & Tippett (1928)对极端顺序统计量极值分布类型的研究,之后de Haan等在极值理论基础方面进行了系统研究.见Lead-better et al. (1983)、Embrechts et al.(1997)、Galambos (1987)、Resnick (2007)、de Haan & Ferreira (2006)等专著.基于这些理论研究,极值理论广泛应用于金融计量、保险、通讯、工程和环境科学等领域,其中渐近估计扮演了重要的角色.如Embrechts et al. (2009a,2009b). Zhou (2010)给出了基于在险值(Value-at-Risk, VaR)的风险浓度的一阶渐近表示Wang & Tang (2006)得到了具有相依随机收益率的离散时间风险模型的破产概率的渐近估计Zhu & Li(2012)给出了条件尾期望(Conditional Tail Expectation, CTE)的一阶渐近表示;等等.但近来学者们发现在实际应用中单单使用极值分布的极限所得到一阶渐近结果是比较粗糙的,很多时候需要更精确的近似表示.需要知道一阶渐近的收敛速度.因此极值理论中有关高阶渐近展开的研究业已吸引了很多学者的目光,如Hua & Joe (2011)在随机变量尾分布为二阶正规变换函数的条件下.给出了CTE的二阶渐近表示Degen et al(2010)和Mao et al(2012)在假设随机变量尾分布渐近光滑条件下得到了基于VaR和CTE的风险浓度的二阶渐近展开;进一步地,在尾分布不再渐近光滑的条件下Mao & Hu(2013)得到了类似的二阶渐近结果Lin (2012a)在具有重尾索赔额的更新风险模型下建立了破产概率的二阶渐近表示;等等.文献表明.相比于一阶渐近结果,得到二阶渐近结果对于极端事件的预测、极端事件的风险管理和控制起着更好的指导作用.由于高阶渐近展开一方面可以提供更精确的近似表达式.另一方面可以刻画一阶渐近展开的收敛速度.在一定程度上可为确定样本容量提供依据.因此本篇学位论文旨在研究极值分布的高阶渐近展开.由于多数实际数据具有有偏、厚尾的特性.能够很好的被有偏分布、厚尾分布所拟合.对于有偏分布、厚尾分布及其相关分布以及考虑二维极值分布,研究其极值分布的高阶渐近展开.得到更为精确的近似表达式有其理论及实际应用价值.所以本篇学位论文主要研究内容包括三部分：给定有偏分布的极值极限分布.极值矩以及其高阶渐近展开;指数尾分布卷积的二阶展开Husler-Reiss模型及其推广的极值极限分布及其二阶渐近展开,以及相应的统计推断.具体工作如下：第一部分：众所周知.高频数据往往呈现出非对称性.有偏分布族因其可以很好的捕捉到这一特性而在金融保险、空间计量、天文学、水文学等领域得到了越来越广泛的应用Azzalini (1985)首先给出了维偏正态分布(SN(λ))的定义,将正态分布推广为非对称的形式.其偏度由形状参数λ进行调节.当形状参数λ为0时,偏正态分布即为正态分布Chang & Genton(2007)证明了SN(λ)属于Gumbel分布吸引场,即SN(λ)的极大值分布收敛到Gumbel分布Capitanio(2010)给出了SN(λ)尾部概率的不等式以及渐近表达式.该结果表明,与正态分布类似,SN(λ)也属于轻尾分布.但许多实际数据除了呈现出有偏的特性.还往往是非负的,且具有厚尾的特性.由于SN(λ)是轻尾分布.这样在对有偏厚尾数据建立模型时,假定数据来自于服从SN(λ)的总体将产生偏误,此时就需要具有厚尾的有偏分布.因此定义在非负实数集上的对数偏正态分布(LSN(λ)因其厚尾有偏的特性.近来倍受学者们的关注.得到了广泛的应用.如：拟合家庭收λ数据、拟合汽车保险索赔支出、拟合无线通讯数据、小儿呼吸道症状定群研究、拟合降雨量数据等等.第一部分主要考虑SN(λ)和LSN(λ)这两种有偏分布,研究它们的极大值分布收敛到其极限分布的收敛速度.以及它们极大值分布、极大值矩的高阶渐近展开.此部分内容由第二章和第三章构成.当形状参数λ为0时.正态分布(SN(0))、对数正态分布(LSN(0))的极值分布极限行为已有许多研究.Hall(1979)和Liao & Peng(2012)分别证明了正态分布和对数偏正态分布都属于Gumbel吸引场,并且得到它们规范化极大值分布收敛到Gumbel分布的一致收敛速度分别与1/logn和1/(log n)1/2同阶.使用不同的规范常数Leadbetteret a1.(1983)得到正态分布极大值分布收敛到Gumbel分布的点点收敛速度与(log log n)2/(log n)同阶Liao & Peng(2012)对数正态分布极大值分布的收敛速度研究也表明、选择不同的规范常数、将会导出不同的极值分布收敛速度.另外,对于正态分布Nair(1981)还建立了正态分布的极大值分布和极大值矩的高阶渐近展开表达式.因此对于SN(λ).此部分将注意力主要集中在λ≠0的情况.第二章首先对SN(λ)进行讨论.当λ≠0时,第二章考虑了其极大值分布在不同规范常数下收敛到Gumbel分布的点点速度,建立其极大值分布和极大值矩的高阶渐近展开.为了能更好的建立SN(λ)的极值分布和极值矩的高阶展开,节2.2中首先给出SN(λ)的尾部性质,并得到两组不同的规范常数.通过不同的计算方法.节2.2给出了与Captianio(2010)不同的Mills不等式和Mills率对比正态分布的Mills不等式和Mills率,当形状参数λ大于0时,SN(λ)的尾部行为与正态分布的尾部行为十分类似,只有倍数上的差别;而当λ小于0时,尾部行为就与正态分布的略有差别.但与Captianio (2010)所得结果一样,也可推得SN(λ)是轻尾的.进而,得到SN(λ)的分布尾表示.使用分布尾表示以及Leadbetter et al.(1983)所给方法,节2.2给出两组不同的规范常数,并再次证明了SN(λ)极大值分布的极限为Gumbel分布.使用这两组规范常数.节2.3得到了两种不同的点点收敛速度.其中使用分布尾表示所导出的规范常数.给出了一维SN(A)极大值分布的高阶展开.其导出的点点收敛速度与1/log n同阶.使用另一组规范常数,一维SN(λ)极大值分布的收敛速度则与(log logn)2/log n同阶.相比之下,由分布尾表示所导出的规范常数更优.使用其所得到的极大值分布收敛速度更好.使用这一组更优的规范常数,在极大值分布高阶展开结果的基础上,节2.4建立了一元SN(λ)的极大值矩的高阶渐近展开,得到其对应的收敛速度亦为1/logn的同阶.由于LSN(λ)的极值极限理论还未被研究.第三章主要考虑 LSN(λ)的极大值极限分布,以及其极大值分布、极大值矩的高阶渐近展开.根据SN(λ)与LSN(λ)之间的变换关系.基于节2.2中所给出的SN(λ)尾部性质,节3.2导出了LSN(λ)的Mills不等式Mills率,更为精确的分布尾部分解及表示;进而证明了LSN(λ)不仅是厚尾分布,还是强次指数分布.类似于在第二章中对SN(λ)的讨论.使用由LSN(λ)的分布尾表示所导出的更优规范常数.节3.3和节3.4分别建立了LSN(λ)极值分布和极值矩的高阶渐近展开表达式,并得到其极大值分布与极大值矩分别收敛到其极限的点点收敛速度均与1/(log n)1/2同阶.与SN(λ)相比LSN(λ)的极值分布和极值矩的收敛速度都要慢.第二部分：当a≥0时.分布族Lα和Sα作为长尾分布族和次指数分布族的推广,在分支过程、更新理论、金融保险等领域具有比较广泛的应用.对于α>0,Lα被称为指数尾(exponential tail)分布：而对于α≥0,Sα被称为卷积等价(convolution equivalent)分布.特别的.L0和Sα即为长尾分布族和次指数分布族Embrechts & Goldie (1980)指出Lα对卷积运算具有封闭性Cline(1986)利用正规变换函数(RV)构造了两类指数尾分布.一类为F(t)=e-αt+χ(t), χ(t)∈ RVρ,0<ρ<1,α>0另一类为G(t)=b(t)e-αt.b(t)∈RVβ,β∈R,α>0.Cline(1986)分别得到了这两类分布卷积的尾分布的一阶渐近表示.第二部分则进一步考虑了这两类分布卷积的尾分布的二阶渐近表达式.此部分内容由第四章构成.在第四章中,分析指出Cline (1986)所构造的分布F是指数尾分布但不是卷积等价分布;而分布G不但是指数尾分布,当β≤一1时G还是卷积等价分布.进一步地,如果所构造的指数尾分布F和G中的函数χ(t),β(t)都为二阶正规变换函数(2RV),在对应的条件下节4.3得到了这两类分布卷积的尾分布的二阶渐近表达式.所需要的二阶正规变换函数的基本结果由节4.2给出.第三部分：前两部分的研究本质上为考虑一维随机变量相关的展开,而第三部分则主要关注二维独立高斯三角阵列{(Xni,Yni).1≥i≥n,n≥1}的极值分布的研究,其中(Xni.Yni)的相关系数记为ρni.对于独立同分布二维高斯随机向量序列,即ρni=ρ∈(0,1),Sibuya(1960)证明了其二维极大值分量之间是渐近独立的.这在实际应用中可能导致对极端事件概率的严重低估.为了改进这一不足Husler & Reiss (1989)针对独立二维高斯随机向量三角阵提出了Husler-Reiss条件.即相关系数ρni=ρn满足limn→∞bn2(1-ρn)=2λ2其中λ∈[0.∞],bn。为规范常数且满足等式(?)n-1bnexp(bn2/2)=1在Husler-Reiss条件下.Husler & Reiss (1989)证明了二维独立高斯三角阵列的极值极限分布为最大稳定Husler-Reiss分布.此结果表明当λ有限时.二维极大值是渐近相依的.近来.当λ∈(0.∞)时Hashorva et al.(2014)提出了二阶以及三阶Husler-Reiss条件,得到了Husler-Reiss模型极大值分布的高阶渐近展开式.对于Husler-Reiss模型,第三部分一方面考虑了其极大值分布收敛到对应极限分布的一致收敛速度.以及其极大值和极小值联合分布的一阶、二阶极限行为.另一方面,第三部分将Husler-Reiss模型推广到独立非同分布情形.并考虑此推广的Husler-Reiss模型极大值分布的极限分布及其二阶渐近展开表达式.此部分内容由第五、六、七章构成.第五章从λ∈(0.∞).λ=0.)λ=∞这三种情况分别讨论Husler-Reiss模型规范化极大值分布的一致收敛速度.当λ∈(0,∞)时.使用Hashorva et al.(2014)提出的二阶Husler-Reiss条件limn→∞bn2(λn-λ)=α∈R,其中λn=(1/2bn2(1-ρn))1/2,λ∈(0,∞)在此条件下,第五章得到Husler-Reiss模型极大值分布的一致收敛速度是1/log n的同阶.当二阶Husler-Reiss条件不成立时,若|(An一λ)-1]和bn2同阶.则一致收敛速度仍然为1/log n的同阶；若limn→∞bn2|λn-λ|=∞则一致收敛速度同阶于|(λ。-λ)-1|；若bn2(λn-λ)既不收敛,|(λn-λ)-1|和bnw也不同阶时.则一致收敛速度不存在.反之.当致收敛速度为1/logn时,bn2(λn-λ)的任意子列bn’2,(λn,-λ).倘若不满足二阶Husler-Reiss条件,则必满足bn’,与(λn’-λ)-1同阶.类似一维随机变量序列极值分布收敛速度的讨论,使用不同的规范常数Husler-Reiss模型收敛到其极限分布的点点收敛速度不会比max{(log log n)2/(16 log n),|λn-λ|}更快.对于λ=0和λ=∞两种极端情况,第五章给出了相应的二阶条件.并证明这两种情况下的一致收敛速度与1/logn同阶.为了使相关系数ρni不但依赖于样本容量n,还依赖于i.Liao et al.(2014c)推广了Husler-Reiss条件,假设相关系数ρni是i/n的函数,即ρni=1-m(i/n)/log n其中m(x)为非负函数Liao et al. (2014c)考虑了独立二维高斯向量三角阵在Copula形式下的极大值极限分布.受此启发,第六章使用条件ρni=1-m(i/n)/log n将Husler-Reiss模型进行推广.当m(x)为正的常值函数时,所推广的模型即为Husler-Reiss模型.对于这样推广的二维独立不同分布高斯随机向量三角阵,第六章分别在三种情况下给出了其极大值分布的极限分布.这三种情况分别为：m(x)为[0,1]上的连续正函数limn→∞ max1≤i≤n m(i/n)=0, limn→∞ min1≤i≤n m(i/n)=∞进一步地,当,n(x)为[0,1]上单调、连续的正函数时,第六章建立了所推广模型极大值分布的二阶渐近表达式,并得到极大值分布收敛到其极限分布的点点收敛速度与(log log n)1/2/log n同阶.对于余下两种情况,在相应的二阶条件下,第六章也建立了所推广模型极大值分布的二阶渐近表达式.此时导出的点点收敛速度是1/logn的同阶.另一方面.假设m(x)为多项式函数,即m(x)=α+βxγ,其中α>0,β≠0,γ>0第六章给出了其中参数的极大似然估计量,并得到了参数估计量的渐近正态性.最后,第六章在m(x)为多项式函数的假设下进行了随机模拟和实际数据拟合.此部分最后一章,即第七章,重点考虑了Husler-Reiss模型规范化极大值和极小值联合分布的渐近行为.此时规范常数b。与第五章中略有不同,满足等式1一Φ(bn)=n-1.其中Φ(x)为标准正态分布函数.第七章仍然从λ∈(0,∞),A=0,λ=∞三种情况来考虑.当λ∈(0,∞).分别在一阶和二阶Husler-Reiss条件下,得到了二维独立高斯随机三角阵规范化极大值和极小值的联合分布的极限分布.及其二阶渐近展开.结果表明此时极大值和极小值是渐近独立的.当λ=0和λ=∞时.在相应的二：阶条件下,得到规范化极大值和极小值联合分布的二阶渐近展开表达式.所得结果显示出当ρn∈(-1.1]时,极大值和极小值也是渐近独立的.而当ρn=-1时.极大值和极小值是渐近相依的.另外.第七章所建立的二阶渐近展开式表明了在对应条件下Husler-Reiss模型规范化极大值和极小值联合分布收敛到其极限分布的收敛速度与1/logn同阶.本学位论文的主要创新点如下1.建立了偏正态分布SN(λ)及对数偏正态分布LSN(λ)的极大值分布和极大值矩的高阶渐近展开.2.利用2RV的性质,刻画了两类属于Weibull类型分布的指数尾分布的卷积尾分布的二阶渐近展开表达式.3.得到Husler-Reiss模型极大值分布的一致收敛速度、极大值和极小值的联合分布高阶展开;将Husler-Reiss模型推广到独立不同分布情形.给出其极大值分布的一阶和二阶渐近展开表达式：在假设相关系数函数为带参数的函数时.得到相应参数的极大似然估计量及其渐近正态性,可用于Husler-Reiss模型假设的统计推断.