随着超材料的发展,我们在电磁系统中发现越来越多的奇异现象。本论文针对边界模式和Fano共振这两种现象分别进行了研究。关于边界模式的研究,我们主要工作如下:一、通过介绍表面波自然引入表面阻抗的概念,TM表面波和TE表面波分别对应了感性表面阻抗和容性表面阻抗。在简要介绍Sievenpiper团队通过仿真和实验证实了感性超表面和容性超表面之间边界模式的存在性之后,我们运用Sommerfeld-Maliuzhinets变换法解析地求出了该边界模式的表达式,并通过与仿真结果对比来验证其正确性。二、首先简要介绍能带理论,然后介绍了拓扑数的概念。我们通过Berry曲率,kp微扰理论和hopping模型三种方法来介绍拓扑数的计算方法,并比较了它们之间的相似性。我们给出了拓扑数不同的结构交界面上存在的边界模式。不仅如此,我们着重介绍了边界两边拓扑数相同的结构中存在的边界模式。通过与常见的非拓扑性引起的边界模式(基于Zak相位和glide对称性)对比,我们提出了一种新颖的存在于anti-phase边界中的边界模式。和一般的边界模式相比,它具有单向传输的特性,通过调节偏移量,优化入射源我们为研究该结构中的边界模式提供了全方位的分析。关于Fano共振的研究,我们主要分析了高介电常数的材料中出现的Fano共振现象。首先我们用Mie散射理论分析球体和核壳结构的散射场,通过将散射系数改写成Fano公式的方式来证明Fano共振的存在性。然后我们用时域耦合模理论分析圆角三角形的散射场,将其分解为PEC散射场和尖锐谐振的叠加。最后我们用能带理论分析了周期结构中的Fano共振,我们发现周期结构中的Fano共振可以看成是Bloch波和Mie散射的叠加,Bloch波作为尖锐谐振决定了Fano共振出现的位置。