分拆函数理论是组合数学中一个重要的研究领域。本文主要利用代数和组合的方法研究一些著名的分拆函数和组合恒等式，主要包括普通分拆函数p(n)、斯坦利分拆函数t(n)、欧拉分拆定理、q-Catalan数和拉马努金西塔函数等。代数方法主要是利用q-级数的变换技巧，组合方法主要是先用整数分拆的语言对集合和恒等式进行组合解释，然后使用组合的工具在各种分拆之间建立映射关系。　　 全文共分为五章。在第一章中，我们主要介绍分拆理论的背景、基本概念及常用的定义和符号。同时，我们介绍在分拆理论的研究中常用的代数和组合工具，包括雅克比三重积等式、q-二项式定理、分拆的杨图表等等，并简要介绍组合证明的定义，最后概括介绍全文的内容和结构。　　 第二章主要研究一些整数分拆函数的分布性质。Stanley于2002年提出了一种新的分拆函数t(n)，Andrews于2004年对这种分拆函数进行了研究，并提出了一些公开问题。在本章中，我们利用q-级数的变换技巧，得到了与t(n)互补的分拆函数u(n)的生成函数，并且证明了普通分拆函数p(n)和斯坦利分拆函数t(n)具有相同的奇偶分布。同时，我们也给出了这个结果的组合证明，并利用组合的方法得到了用勾长公式表示的相关结论。Yee在回答Andrews的公开问题时，计算了一种带有限制形式分拆的生成函数，在本章的最后一节中，我们利用组合的方法给出了这类生成函数满足的不等式关系。　　 在第三章中，我们将详细研究Boulet在2006年推导的关于整数分拆的四变量生成函数。在本章中，我们纠正了Boulet的文章中一个推广形式的错误并且在此基础上给出了我们自己的推广形式，我们的推广结果还将被利用在第四章主要结果的代数证明中。在本章最后一节，我们给出了以上推广形式和q-Catalan数之间的联系，有关q-Catalan数，我们将在第五章中做进一步研究。　　 在第四章中，我们主要研究经典的欧拉分拆定理。许多著名的数学家，例如Andrews、Bessenrodt、Fine、Glaisher和Sylvester都曾研究过欧拉分拆定理，并得到了相应的限制和推广形式。在本章中，我们利用第三章中的结果和q-级数的变换技巧得到了一个包含Bessenrodt限制形式和Andrews推广形式的一个新的分拆定理。同时，我们给出了该结果的组合证明，这个组合证明也蕴含着一个更深刻的结论。利用类似的方法，将偶数部分的重复次数限制在小于任意奇数，我们还得到了一个涉及交错和与奇数部分个数的新的分拆定理。　　 在第五章中，我们主要研究一些包含了q-Catalan数的组合恒等式。首先，我们得到了一些包含q-Catalan数的恒等式，同时，我们利用Andrews处理q-Catalan数的组合技巧给出了其中一个恒等式的组合证明。另外，Andrews于2011年给出了三个包含q-Catalan数的恒等式，它们分别是Koshy专著中三个包含Cata-lan数的恒等式的q-模拟，Andrews给出了三个恒等式的部分组合证明。在本章中，我们将给出这三个恒等式的另一种部分组合证明。