【摘 要】
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由于工程领域的日趋复杂,必须设计更为高阶稳定的数值算法来适应非线性振动偏微分方程求解的数值模拟要求。离散变分方法作为一种高精度的变分积分方法,在长时间仿真下可以保持各级约束的稳定性,对可变步长的差分运算,可以保持能量和辛结构守恒。本文针对一般非线性振动偏微分方程模型,首先采用微分求积法离散空间域,在时间域上构造离散变分方法,将两种方法进行综合,得到各指标微分-代数方程组。根据离散化力学中的变分机理
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由于工程领域的日趋复杂,必须设计更为高阶稳定的数值算法来适应非线性振动偏微分方程求解的数值模拟要求。离散变分方法作为一种高精度的变分积分方法,在长时间仿真下可以保持各级约束的稳定性,对可变步长的差分运算,可以保持能量和辛结构守恒。本文针对一般非线性振动偏微分方程模型,首先采用微分求积法离散空间域,在时间域上构造离散变分方法,将两种方法进行综合,得到各指标微分-代数方程组。根据离散化力学中的变分机理,可以设计含有约束条件的离散化变分方法,先将约束方程的雅克比矩阵和Lagrange乘子添加到最小作用量中,再先离散化后变分得出含有约束条件的离散化Euler-Lagrange微分方程。离散变分方法在计算过程中将时间离散到每一时间区间的方程组中,使得上阶段的误差无法累积到下阶段的计算中,也因此避免了其它数值格式出现的误差累积等问题。所以,理论上离散变分方法有着保辛结构和保能量的特性。本文以梁振动偏微分方程、功能梯度梁振动偏微分方程以及流体管道振动偏微分方程三类方程为例,构造离散变分格式进行仿真,并将得到的数值结果通过图像与表格进行对比。结果表明,与传统的龙格-库塔方法相比,离散变分方法理论完善、所编出的程序通用性较好,是一种求解非线性振动偏微分方程的有效方法。
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