期权定价理论是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题。针对不存在定价公式的一类美式期权,本文研究其定价中的自由边界问题,并结合自由边界提出了更快速的精确度更高的数值方法。本文绪论部分对金融衍生工具及其定价理论作了概括性的回顾。第二部分详细地阐述了衍生证券价格所服从的Black—Scholes偏微分方程的建立过程,并利用傅立叶变换详细推导了欧式期权的Black—Scholes定价公式。文章第三部分结合自由边界,改进了原有的为美式看跌期权定价的有限元方法:首先通过变量变换就原问题化简并转化为等价的变分不等式方程,然后建立半离散和全离散有限元逼近格式,且着重论证了有限元解的稳定性以及在L2和H1模意义下的误差估计。最后用数值算例验证了该方法的有效性。文章第四部分本文又针对满足Black-Scholes方程的美式期权定价问题,提出了一种快速的数值方法:在定义域的趋于无限那一端,找到一个准确的人工边界条件,将计算区域变小。然后再将人工边界与确定自由边界位置数值方法相结合,并用有限差分方法求解所导出的问题。对一些付红利的美式看涨期权给出了数值算例,证明新的处理办法非常有效,而且精度也比标准的有限差分方法高。