本文证明了Kottwitz重数猜想.当测试函数是Schwartz函数时，实数情形下直接具体地给出了局部迹公式的谱项稳定化。特别，当一个测试函数分支是尖点的情形，本文具体构造了稳定局部迹公式的谱项。本篇博士论文有两个目的，一个是解决Kottwitz重数猜想，另一个是直接对局部迹公式的谱项做稳定化。在文章中，稳定迹公式是解决Kottwitz猜想的主要工具，包括要用到整体迹公式和局部迹公式。在假设基本引理成立的条件下，Arthur在[A9]，[A10]，[A11]中，对一般迹公式做了稳定化。在2008年，C.B.Ngo在[N]中解决了这假设，于是我们得到了无条件的稳定迹公式。整体迹公式的主要方法是诱导的，因此稳定迹公式的主要项不是具体的，同时稳定的局部迹公式的几何项相对来说是具体的。特别在p-adic的情形，如果测试函数是尖点的，稳定的局部迹公式是一个内积公式(Arthur在[A7]中给出了具体的公式)。然而局部迹公式的谱项也不是具体的，所以本文将在实的情形下直接对谱项做稳定化。在这种情况下许多人做了大量的工作，Langlands在[L2]已经对实代数群的不可约表示进行了分类;Shelstad在[S3]和[S4]对tempered表示进行了分类，同时直接构造谱的转换因子和给出了反向的伴随关系.这些是本文的工作基础。　　Kottwitz重数猜想（具体的重数猜想可参考[SP]）是自守表示论中的一个经典问题。这个猜想是要计算在G(R)上的离散级数表示πR在表示空间L2(ΓG)上的重数，其中Γ是G的离散子群，G是Q上的K群。在许多情形，猜想已经被解决;最简单的情形，G在Q上是anisotropi，即G(Q)G(A)是紧的，是由Langlands在[L1]中解决的。对于非紧商最先的结果是关于G=SL(2)，由Selberg在[S]中给出。关于更一般的情形，当G在R上是一阶的，在[OW]中有关于重数mdisc（πR，K0）的公式，当G在R上是任意的阶时，Arthur在[A3]中给出了一个重数和∑π∈Πdisc(μ) mdisc(πR，K0)的公式。而对于单个的重数，Kottwitz在[K4]中猜测了单个重数mdisc(πR，K0)的公式，Steven Spallone在[Sp]中证实了这猜想的2种特殊情形。本文的目的是完全解决这个猜想，同时推广这个猜想到一般的情形，即当约化群是K群的情形。　　第一章，介绍了K群，它是连通的约化群的并集，当F是p-adic的情形，K群仍然是连通群，如果F是Archimedean的，K群是不连通的，然而在这种情形，K群有好的稳定化性质，同时任意的连通群决定一个唯一的K群。本章中给出了一些K群的例子，我们发现不变分布和稳定分布都能自然扩张到K群上。在第二章，我们获得了重数和不变迹公式的关系。但是当测试函数是伪系数时，我们还不能得到一个具体的不变迹公式，因为在这种情况下，测试函数不是稳定的。为了克服这个困难我们要对不变迹公式做稳定化。通常我们说的不变迹公式是关于I(f)通过两种不同的展开而获得的恒等式。它的一边叫几何展开即I(f)=∑M∈L|WM0||WG0|-1∑γ∈Γ（M,S） aM(S,γ)IM(γ，f)是被Levi子群共轭类参数化的分布的线性合成。它的另一边叫谱展开即I(f)=∑M∈L|WM0|WG0|-1∑t＞0∫Πt（M，S)aM（S，π）IM（π，f）dπ是被Levi子群表示参数化的分布的线性合成，其中f∈H(G，V).Arthur在[A11]中对不变迹公式做了稳定化。我们在第3章把重数写成整体的稳定迹公式的几何项。同时我们用分离公式约化整体迹公式的局部分支到实部的情形.当然，相对于局部迹公式，整体迹公式的局部分支更复杂一些，因为它包含了冪幺元的分布的贡献.但是当测试函数是稳定尖点时，来自冪幺元的分布将等于零，从而局部迹公式和整体迹公式的局部分支相同。而伪系数函数在Shelstad的变换映射下是稳定的和尖点的。因此研究稳定的局部迹公式就足够了。一般来说局部迹公式的几何项是关于半单元，而局部迹公式的谱项是关注温和表示。不变局部迹公式的谱项包含了一个自然的对象，即virtual character，在[A5]中我们用virtual character给出了一个简单的不变迹公式。因此第四章介绍了在实情形下的virtual character，同时定义了变换因子△(τφ)和△（φ，τ），这要用到Shelstad在[A3]中的工作。从而我们能对局部迹公式的谱项做稳定化，当测试函数的一个分支是尖点时，我们仅仅需要考虑椭圆表示。第五章，我们获得了一个关于局部迹公式的谱项的具体公式:Idisc(f)=∑M∈L l(G，G)∫Φ2(G,ζ)|Sφ|-1|Z((G))Γ/Z(a)Γ|(f1)(φ)(f2(φ）)dφ第六章结合Arthur的工作直接对一般条件下的局部迹公式的谱项做稳定化。第七章，我们获得主要项SGM（δ,φ）.同时要去稳定化Weyl积分公式，它联系了局部迹公式的几何项和谱项。我们通过对照稳定的局部迹公式和稳定的Weyl积分公式就能得到想要的主项。在第八章，我们建立了SGM（δ，f）和不变主项ΦM(γ，f)的联系，从而我们能克服关键的障碍，当δ不是半单时，我们有SGM（δ，fφμ）=0。考虑各个项，就得到了我们的重数公式。