弹性矩形板作为一种重要的结构构件,在土木工程、航空航天工程、海洋工程及机械工程等领域均有着广泛的应用,其相关动静力问题的求解一直是学术界和工程界的研究重点,但是由于数学上的困难,对此类问题进行理性解析求解非常困难。本文的工作是分别利用有限傅里叶积分变换解法及广义有限积分变换解法对复杂边界条件下矩形板(Kirchhoff薄板、Reissner中厚板)的力学问题进行解析求解。首先,对于两邻边自由另两边固支或简支边界条件下Kirchhoff薄板弯曲问题,选取半正弦级数为积分核,通过对控制方程进行二维有限半正弦积分变换,得到薄板位移函数在变换域内的表达式(含有物理意义明显的待定的傅里叶变换系数),然后通过使逆变换表达式满足相应的边界条件,将原问题(高阶偏微分方程边值问题)转化成求解线性代数方程组的问题,进而可以取得该问题的解析解。针对多种点支撑边界条件下Kirchhoff薄板的弯曲问题,通过引入广义简支边概念,将有限傅里叶积分变换解法与叠加原理相结合,对薄板控制方程及广义简支边进行有限积分变换,得到问题的通解表达式(含有物理意义明显的待定傅里叶变换系数)。对于特定边界条件下的薄板问题,根据边界条件取通解中的若干项叠加成问题的解,通过满足边界条件得到一系列线性代数方程组来确定其中的待定傅里叶系数,进而得到问题的解析解。同时,由于在求解过程中利用了和函数,改善了此解法收敛性差的缺点。最后,利用该解法获得多种经典边界条件下各向异性薄板自由振动问题的解析解。针对更加符合工程实际的弹性约束边界条件下Reissner中厚板的弯曲问题,采用二维有限正弦积分变换解法,通过对控制方程(高阶偏微分方程组)进行有限傅里叶积分变换,得到含待定系数的位移表达式,然后通过满足边界条件来确定待定系数,进而得到该问题的解析解。此外,通过改变弹簧系数可以模拟经典边界条件中的固支边和简支边,因此还求得多种固支简支组合边界条件下中厚板弯曲问题的解析解。最后,通过选取满足边界条件的梁振型函数为积分核,构造出广义有限积分变换对,利用积分变换原理求得经典边界条件下各向异性薄板弯曲及自由振动问题的解析解。该解法脱离了以正余弦级数为积分核的窠臼,除了不需要预先选取位移函数的优点外,可以将薄板问题直接转化成易于求解的线性代数方程组,使得问题的求解难度大大降低,所得解析解精度高且收敛迅速。