本文主要研究几类含临界指标的非线性偏微分方程解的存在性与多解性.本文共分为五章:在第一章中,我们将对本文研究问题的背景和国内外研究现状做概述,并简要介绍本文的主要工作,相关的预备知识以及一些常用的记号.在第二章中,我们研究了下列含Kirchhoff算子的Choquard方程其中 a ≥ 0,b>0,α∈（0,N）,2α*＝N+α/N-2是关于 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的临界指标以及V（x）∈LN/2（RN）是一个非负函数.利用经典的环绕定理和全局紧性定理,我们证明了方程至少存在一个束缚态解,如果‖V‖LN/2足够小.更多的,我们的结果揭示了 Kirchhoff问题的一个新特点,也即是参数a可以为零.在第三章中,我们研究了奇异扰动的Choquard方程ε2s（-Δ）su+V（x）u=（Iα*|u|2α,s*）|u|2α,s*-2u,u∈Ds,2（RN）,其中 s ∈（0,1）,N≥ 3,ε 是一个正的参数,2α,s*=N+α/N-2s是关于 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的临界指标.V（x）∈LN/2s（RN）并且V（x）在RN中的某些区域上为零,这意味着此问题是临界频情形，利用分数Sobolev空间中的全局紧性结果与Lusternik-Schnirelman理论,我们证明了方程存在多重束缚态解.在第四章中,我们研究了下列含临界增长的分数Schrodinger方程（-△）su+V（x）u=|u|2s*-2u,x∈RN,其中 s ∈（0,1）,N>4s,（-△）s是分数 Laplacian 算子,位势函数 V（x）:RN→R,2s*=2N/N-2s是分数临界Sobolev指标.利用重心映射,形变引理以及Brouwer度理论,我们证明了高能正解的存在性与多解性.我们的结果推广和改进了 Correia和Figueiredo（Calc.Var.Partial Differential Equations,58:63,（2019））最近关于分数Schrodinger方程高能解存在性的工作.在第五章中,我们研究了奇异扰动的p-Laplacian方程-εp△pu+V（x）|u|p-2u=|u|p*-2u,u∈D1,p（RN）.其中 1<p<N,p-Laplacian 算子 Δp:=div（|▽u|p-2▽u）,p*=Np/（N-p），ε是一个正参数,V（x）∈LN/p（RN）并且V（x）在RN中的某些区域上为零,也即是说它是一个消失位势.利用Lusternik-Schnirelman理论,我们证明了正解的存在性与多重性.这个结果推广了 Chabrowski 和 Yang（Port.Math.57（2000）,273-284）关于半线性Schrodinger方程的结果.