对流扩散方程是流体力学中的最基本的模型之一,主要用来研究流体中由流体质点所携带的某种物理量,如物质的温度或浓度在流动过程中的变动规律,被广泛应用在环境科学、流体力学和电子科学等诸多领域内.在实际数值模拟中,为保证物质界面的精确描述通常采用拉格朗日方法,然而流体在流动时将使拉格朗日网格发生很大变形导致许多在一致网格上适用的计算格式精度下降,甚至使格式不再收敛,因此为避免网格重分及物理量重映带来的计算量增加和数值耗散,在任意多边形和非光滑、扭曲严重的网格上直接构造求解对流扩散问题的高精度计算格式具有十分重要的意义.如何在任意多边形和非光滑、扭曲严重的网格上设计数值方法,实现高效求解,正是本文研究的重点.本文具体研究内容和结论如下:基于虚拟元方法(VEM),我们对对流扩散问题的空间离散采用最低阶的虚拟元离散.首先我们研究了非定常对流扩散反应方程,在时间上采用Crank-Nicolson格式,在空间上采用VEM构造离散格式,给出了半离散和全离散格式的误差估计,得到了离散格式时间和空间的最优收敛阶,数值实验表明了该方法的有效性.其次我们研究了对流占优扩散方程.对流占优,实际上是一类奇异摄动或边界层问题,在采用一些传统的数值方法计算时,往往会出现非物理的数值震荡,VEM方法也会出现这种现象.因此,为处理对流占优(大Peclet数问题),本文借鉴传统数值方法加稳定项的方法,提出了一类稳定化的VEM,即虚拟元方法与流线扩散方法相结合的方法(SD-VEM).这种方法的主要特点是稳定项中的试探函数取自于自伴算子一▽·(K(x)▽-b(x)·▽v,同时考虑了对流效应和扩散效应的影响,而且稳定化参数的选取较为简单.通过引进能量范数,我们证明了该稳定化方法具有最优收敛阶.数值实验表明该方法是有效的和可行的,并能够较好地拟合边界层问题.