微分方程被广泛应用于表述自然界与工程技术中的诸多现象。由于大多数微分方程的解析解很难精确给出,因此对微分方程数值解法的研究就显得尤为重要。数值积分法是利用方程的常数变易公式或等价的积分形式而建立的一类数值方法。例如,一阶半线性常微分方程的指数积分法,二阶振荡微分方程的扩展RungeKutta-Nystr?m方法以及非线性分数阶常微分方程的乘积积分法等。数值积分法往往具有精度高、稳定性好和保结构等性质。本文针对几类微分方程构造了高阶的数值积分法,并给出了这些方法的收敛性、稳定性以及保结构性质的理论分析。本文主要工作包括以下几个方面:分析了延迟微分方程的显式指数一般线性方法的收敛性和稳定性。在某些假设下,证明了延迟微分方程的显式指数一般线性方法保持了常微分方程的指数一般线性方法的内级阶和收敛阶。针对线性试验方程,研究了指数一般线性方法的线性稳定性,给出了线性稳定的充分条件。对于非线性延迟微分方程,证明了在某些条件下指数一般线性方法的GRN-稳定性。构造了二阶振荡常微分方程的多导数扩展Runge-Kutta-Nystr?m方法。该方法利用了二阶振荡常微分方程的常数变易公式,充分考虑了由方程的线性项所带来的结构特征,数值格式中不但包含右端函数项还包含右端函数的导数项。增加的导数项使得该方法具有更高的内级阶,也更易于构造高阶方法。研究了该方法的收敛性、保能量性质、稳定性和相性质。构造了非线性Riesz空间分数阶波动方程的高阶保能量数值方法。利用加权平移的Lubich差分算子构造了Riesz空间分数阶导数的一种四阶估计方法。应用这种估计方法对方程进行了半离散,讨论了半离散系统的稳定性和收敛性,证明了半离散系统能够精确地保持半离散能量。利用扩展Runge-Kutta-Nystr?m方法构造了全离散格式,并说明了全离散格式的高阶收敛性和保能量性质。提出了非线性分数阶常微分方程的平移Legendre乘积积分法。该方法是利用与非线性分数阶常微分方程等价的第二类弱奇异Volterra积分方程和局部傅里叶展开构造的。证明了该方法对于光滑问题在理论上能够达到任意阶,并说明了该方法在稳定性方面的优势。