现实生产生活中更多时候我们面对的是一个非确定性世界,比如扩散过程、流体运动、弹性形变等,这些均会受到不确定因素的影响,把这些不确定因素考虑到数学模型当中,就有了随机偏微分方程及其最优控制问题.一般很难求得这些问题的精确解,因而求出它们的数值解就有着重要的研究意义和应用价值.目前研究随机偏微分方程及其最优控制问题的求解方法常见的有Monte Carlo方法,随机Galerkin方法和随机配置法.Monte Carlo方法通过随机抽样的方式来求解随机偏微分方程,随机空间中的每一个抽样均需求解相应的确定性偏微分方程.该方法不依赖于随机参数空间的维数,方法简单明了且适用性很强,缺点是收敛慢.随机Galerkin方法将概率空间和物理空间方向均用有限维空间逼近后代入弱形式求解,最后形成一个庞大的离散系统.其构造格式和误差估计模式较为固定,收敛速度较快,缺点是会产生维数危机,即随着随机空间维数的增加,离散系统的规模将以指数速度增长.随机配置法对随机空间的每一个插值点求解确定性偏微分方程,进而利用所得结果对概率空间进行多项式插值.该方法充分结合Monte Carlo方法和随机Galerkin方法的优点,不需要求解大规模的耦合系统,且能保持较快的收敛速度.本文主要采用径向基函数随机Galerkin方法求解随机偏微分方程及其最优控制问题,对物理空间方向使用多项式离散,对概率空间使用径向基函数进行离散.第二章,我们给出具有随机场系数和源项随机椭圆偏微分方程径向基函数求解的先验误差估计;通过大量数值实验证实理论的可靠性,展示Mat′ern和GIMQ径向基函数求解随机椭圆偏微分方程的高效性和差异性;对同样的抽样点个数,径向基函数求解期望的精度远比Monte Carlo方法求解期望的精度要高.第三章,我们给出具有随机场系数椭圆偏微分方程最优控制问题的径向基函数逼近格式,大量数值实验表明参数适当时GIMQ径向基函数的逼近效果要优于Mat′ern径向基函数的逼近效果,并展示不同参数对GIMQ径向基函数逼近效果的影响.径向基函数随机Galerkin方法不仅能发挥Galerkin方法收敛速度快的优势,更能发挥径向基函数不需要进行网格剖分的长处,其离散格式不依赖于随机维数的增长,可以避免多项式和有限元等经典方法存在的缺陷,在很大程度上减小随机空间维数的影响,结构简单,易于数值实现.大量数值实验证实了理论的可靠性和方法的有效性.