本文提出了一些降阶方法主要属于第一类的基于Krylov子空间的降阶方法。此外，本文还提出了线性系统的时域小波(Wavelet)降阶方法，并和已有的时域Chebyshev降阶方法[Wang2002]作了比较。本文在下列几章分别详细阐述提出的一些方法。 在第一章中，先讨论了两种基于Krylov子空间的不同的投影过程，然后选择其中的一种作为以下讨论的理论基础。 在第二章中，讨论了线性系统的模型降阶方法。在第一节提出线性系统的时域小波降阶方法，并详细地与已有的Chebyshev时域模型降阶方法比较[Wang2002]。我们利用了电路系统特有的稀疏性提出了关于求解小波系数矩阵对应的Sylvester方程的高效算法，即不完全Shur分解方法。求解小波系数矩阵是时域小波降阶的关键，能否快速求解系数矩阵所对应的Sylvester方程关系到整个小波降阶方法的有效性。数值模拟的结果表明小波降阶方法在模拟快速变化3的电路时比Chebyshev降阶方法[Wang2002]更为有效。第二节我们将线性系统的模型降阶方法引入电化学领域的快速模拟中，这是目前该领域进行快速模拟的创新方法，模拟的结果表明模型降阶方法能够有效的进行该领域线性系统的快速模拟。 时域小波降阶方法提出的背景是在集成电路领域，特征尺寸越来越小，集成电路已经步入纳米时代。集成电路的规模已经达到giga量级，时钟信号的速度达到gigahertz(GHz)。在现代的大规模集成电路中，信号在互连网络传输过程中，信号完整性以及信号延迟的影响主宰了整个系统的性能[Gao1990，Hasegawa1984，Dai1992]。尽管许多互连电路著名的模型只由线性电子元件构成，比如：电阻，电容，电感，互感[Pillage1990]，但由于规模很大，仍然很难对其进行模拟。因此，互连网络的模拟在现代工业应用和科学研究中成为一个很有挑战性的研究热点。 目前模型降阶的方法被证明是对大规模电路进行快速模拟的很有效的方法。许多对线性系统的模型降阶方法都是基于系统的频域传递函数矩匹配的原理，通过逼近传递函数的矩来得到降阶的模型。例如经典的方法AWE[Pillage1990]，PVL[Feldmann1995a]，这两种方法已经在电路模拟中被广泛应用。然而，在许多情况下，即使降阶后的系统的传递函数很精确，降阶系统在时域的响应却不是很精确。这是由于在现代技术中，系统工作的频率不断增长，互连电路的磁耦合的影响越来越严重，造成信号的完整性问题，比如信号波形的overshootingandundershooting现象使得互连线的冲击响应在波形上变得越来越复杂[Wang2002]。特别是，信号波形的快速变化使得基于频域近似的降阶方法不能够在时域内得到精确的波形。因此需要有直接在时域进行降阶的方法来代替频域降阶方法，从而能够得到精确的时域响应。与频域降阶方法对传递函数进行逼近不同，时域降阶方法直接用状态空间的基函数来逼近系统的状态变量比如基于Chebyshev基函数的降阶方法[Wang2002]以及基于一般的正交多项式的降阶方法[Wang2002]。例如，Chebyshev降阶方法[Wang2002]是用Chebyshev函数来逼近系统的时域状态变量。通过计算Chebyshev基函数关于系统状态变量的系数矩阵，可以把系数矩阵的列正交化得到一个投影矩阵，然后把系统的状态变量投影到这个投影矩阵所在的子空间上，从而得到系统的降阶模型。这个方法在4[Wang2002]中被用来和传统的频域降阶方法比较，并被证明此方法比传统的频域降阶方法更为精确和有效。 第三章针对微机电领域(MEMS)中的一个热学问题提出了两种参数系统的模型降阶方法。由这个热学问题建立起来的模型是一个带参数的线性系统。而传统的模型降阶方法只能处理不带参数的系统，即系统矩阵是常数矩阵，矩阵中的元素是固定的取值。而为了更精确的描述一些物理系统，许多应用问题建立的起来的模型都带有一些可变的参数[Daniel2004]。这些参数的值可以根据需要随时调整。为了观察系统对应于不同参数的取值条件下的不同特性，参数每改变一次，必须对原有的系统重新模拟一次，计算参数值改变后的系统的输出，从而验证系7统的不同特征。如果需要验证许多种不同参数的取值，那么就必须对原有的大规模系统进行许多次模拟。显然会导致很大的计算量。参数模型降阶的目的就是要用一个小规模的带参数的系统代替原来的参数系统，使得原系统的所有参数都被保留在这个小规模系统中，并且这个小的参数系统的精度不会随参数值的变化而变坏，即小的参数系统对任何参数的取值都能保证其精度在可接受的范围内。然而，传统的模型降阶方法不能得到这样的参数降阶模型，因为这些方法只能对任意一组固定的参数进行一对一的降阶，这就表明如果我们需要验证许多组的参数取值，那么传统的模型降阶方法必须计算许多个降阶模型，每个降阶模型对应每一组参数的取值。这样的降阶方法是很不实用的。在本章中，我们提出了两种参数模型降阶方法，一种方法是启发式的方法，目前还没有被理论证明，但是数值例子的模拟结果表明这种降阶方法至少对于处理带一个参数的系统是非常有效的。另外一种方法是基于对参数系统的传递函数进行多级数展开的方法。数值模拟的结果非常精确。另外，近几年也有一些类似的方法相继提出[Gunupudi2000，Daniel2004]，它们都是针对电路领域的一些参数系统提出的，这些参数系统中参数的改变范围较本章给出的热学参数系统的参数改变范围小。我们将在本章的最后对这些不同的方法进行比较。