线性代数委托计算有着重要的理论和应用价值。随着计算机技术朝着多极化方向发展，计算资源分布越来越不均匀，而委托计算技术可以使得资源分配更合理、更灵活，因此对委托计算进行研究尤为重要。目前委托计算的研究仍处于理论研究阶段。基于全同态加密方案构造的委托计算方案最大的不足是计算效率低，全同态加密的低效已成为委托计算实用化的一个障碍。本文基于此，取得以下研究成果：1.为了将同态性质体现在矩阵中，本文首先给出了矩阵同态加密方案的定义，并深入分析矩阵运算的特点，基于求最大近似公约数困难性假设，设计了一个矩阵同态加密方案。该方案是选择明文安全的，满足任意次矩阵加法同态，至少一次乘法同态，且是一个实用的方案。2.使用同态加密算法得到的矩阵同态加密方案密文长、密文计算效率低且仅满足一次矩阵乘法同态。为了提高密文矩阵的计算速度，使得矩阵运算满足全同态，本文提出了一种高效的矩阵全同态加密方案。摒弃使用同态加密算法对矩阵元素进行加密，选择对矩阵整体进行加密，在求公约矩阵困难性假设基础上，构造了矩阵全同态加密方案。该方案是一个安全的方案，最大的优点是计算效率高。3.在构造矩阵同态加密方案和矩阵全同态加密方案的基础上，本文在已有开源代码库的基础上，设计并实现了矩阵同态加密系统和矩阵全同态加密系统，并选择实例在加密系统上进行了实验测试，验证了理论方案的可行性和实用性。4.在对矩阵同态加密方案和矩阵全同态加密方案各种性能分析比较后，最终选用矩阵全同态加密方案作为构造线性代数委托计算方案的基础，构造了矩阵复合运算、矩阵集合求和运算、求矩阵特殊解及求矩阵平方根的委托计算方案，并依照安全性游戏证明了方案安全性，最后给出了应用实例。