整数集上的单色解问题和密度问题一直是组合数论中的热门问题。集合[N]={1,2,...,N}的一个k-划分{A1,A2,...,Ak}也称为[N]的一个k-染色。对于多项式f(z)∈Z[z]以及[N]的一个k-染色,若存在同色互异的x1,x2,...,xt∈[N],使得方程a1x1+ a2x2…+atxt=f(z)对某一个z ∈ Z成立,我们就说上述等式存在一个单色解。判断所给定的方程是否存在单色解的问题也称为整数集上的Ramsey-类型问题。整数集上的Ramsey-类型问题起源于著名的Schur定理:对正整数的任意κ-染色,方程x+y-z= 0都存在单色解。2006年,Khalfalah和Szemeredi证明了Roth,Sarkozy,Erdos和Sos的猜想:f(z)是一个以2为素因子且首项系数为正的整系数多项式,若N充分大,则对集合[N]的任意k-染色,方程x + y=f(z)都存在单色解。在论文的第二章,我们推广了 Khalfalah和Szemeredi的结果,证明了以下定理:定理 1.假设整数k≥ 2,n ≥ 2,m ≥ 2且a1,a2,...,am ∈ Z\{0}。/(zz=(?)是首项系数为正的整系数多项式,且存在整数z使得(?)。若ai>0(i = 1,2,...,m),则存在N0 = N(κ,m,n),使得当N>N0时,对集合[N]的每一个κ-染色,a1x1 + a2x2+…+amxm = f(z)都存在单色解。在1975年,Semeredi研究了密度为正的整数集上的等差数列问题,给出了著名的Semeredi定理:对任意实数δ>0及整数k≥ 1,存在正整数N,使得集合[N]中任何大小为δN的子集都存在长度为k的等差数列。在本文的第三章,我们研究了整数集上的密度问题,得出了下述结论:定理2.假设整数t≥ 2且正实数(?)<1/4,若整数N充分大,B(?)[N]且|B|(1/t-(1/t + 1/4)(?))|N/t],且对任意的ai ∈ A(1 ≤i ≤ t),都有a1 + a2 + …+ at(?)B。定理3.设整数t ≥ 2,实数△>1,B={b1,2,...,bk...是一个严格递增的无限整数序列且满足infk=1,2,...bk+1/bk ≥ △,则存在严格递增的无限整数序列A ={a1,a2,...},使得liminfN→∞[A∩[N]|/N≥exp{-(log3/log/Δ + 1)log(12t)}且ax1 + ax2 +...+ axt(?)B。