本篇论文我们考虑实射影空间上的闭测地线问题和二阶自治哈密顿系统的最小周期解问题。　　 在第一部分中，基于Westerland的工作[1]和[2]我们使用Leray-Serre谱序列理论和Chas-Sullivan关于环路同调的Batalin-Vilkovisky代数结构的研究工作得到下面的结果：对于非单连通流形M=RP2n+1，记LgM为M上非可缩的环路组成的空间，则或者序列{dimHs1k(LgM；Z2)}无界，或者对于前一种情形，我们可以利用Gromoll-Meyer理论证明M上具有无穷多条不同的、非可缩的闭测地线。而如果是后一种情形，则我们可以建立关于Lg(M)上闭测地线的平均指标恒等式。注意到Sn上类似的平均指标恒等式是Bangert，Rademacher，龙以明，王嵬和段华贵等人证明球面上至少存在两条不同闭测地线的一系列工作的基石之一，因此我们可以期望利用本文得到的平均指标恒等式再结合龙以明精确指标迭代公式来证明M上至少有两条不同的、非可缩的闭测地线。　　 利用相同的方法，我们还证明了：对于k≥4且k为偶数，在Cohen-Jones同构下，Sk上的两种Batalin-Vilkovisky代数结构同构，即　　 (H*(LSk；Z2)，·，△)≌(HH*(H*(Sk)，H*(Sk)，Z2)，∪，△～)。与Menichi[3]中关于奇数维球面的结果结合得到，任意k≥3维球面上的这两种B-V代数结构同构。而k=2时，Menichi[3]证明了二者是不同构的。尽管如此，我们可以证明对任意的球面Sk，k≥2，纤维LSk→ES1×s1 LSk→BS1的Leray-Serre谱序列在第三页坍塌。　　 在第二部分，我们研究辛道路的ω=-1的ω指标迭代公式。结合Maslov指标理论(可看作ω=1情形的ω指标理论)，我们得到不可定向闭测地线Morse指标的精确迭代公式。我们希望这些公式将来可以用来研究不可定向流形上(譬如RP2n)的闭测地线问题。　　 在第三部分，我们考虑二阶自治哈密顿系统　　 x+V′(x)=0，()x∈Rn，并证明了下面的结果：如果V(x)=V(-x)并且存在常数θ>1使得　　 0<θV′(x)·x≤V″(x)x·x，()x∈Rn＼.{0}，则对任意给定的常数T>0上面方程至少存在一个最小周期为T的周期解。