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常微分方程边值问题是常微分方程理论研究中最为重要的课题之一.随着科学技术的进步与发展,工程、力学、天文学、经济学、控制论及生物学等自然学科和边缘学科领域中的许多实际问题都可归结为常微分方程的边值问题.我们都知道,寻求微分方程的通解十分困难,故从理论上探讨解的存在性及其性态一直是近年来研究的热点问题.随着常微分方程理论的不断发展,多点边值问题的研究日益活跃. 常微分方程多点边值问题是指常微分方程的定解条件不仅依赖于解在区间端点上的取值,而且依赖于解在区间内部的一些点上的值.因此,它一方面可以更精确地描述许多重要的物理学现象,另一方面可以将许多经典的两点边值问题纳入同一框架,从而具有重要的理论意义和应用价值,近年来得到了国内外众多数学工作者的关注.具体实例包括工程学上横截面相同而密度分段不同的支索的振动问题以及弹性稳定性理论中的许多问题.正因为多点边值问题具有广泛的应用背景,所以具有重要的研究价值. 关于多点边值问题的研究最早的文献见D.Barr, T.Sherman于1973年发表的论文.对于二阶三点边值问题Gupta,O’Regan, Ma等人相继发表了许多研究成果[3,14,15,16,21].随着对二阶多点边值问题的更广泛研究,三阶多点边值问题也逐渐成为人们热衷研究的对象,但至今为止,对三阶多点边值问题的研究相对来说比较少,这就为我们研究三阶多点边值问题提供了广阔的空间. 三阶奇异微分方程边值问题也具有广泛的实际意义.在介质流孔的气体湍流理论、弹性梁振动理论、拓扑横截理论、宇宙物理、血浆问题等方面都有广泛应用.早在1988年,Baxley在SIAM.J.Appl.Math上就发表了一篇利用拓扑横截理论来研究三阶奇性边值问题的文章.可见,对三阶奇异微分方程边值问题的存在性和多解性研究具有重大的理论意义和实际意义. 1998年,在文献中,Douglas Anderson研究了下面的三阶三点边值问题其中,η∈[1/2,1),f：[0,+∞)→[0,+∞)是连续的,且对任意的x≥0,有f≥0.本文给非线性项f一定的限制条件,并利用著名的Legget and Williams不动点定理,得到了BVP（Ⅰ）至少存在三个非负正解.2003年,姚庆六同样考虑了三阶三点边值问题.这篇文章将（Ⅰ）中的非线性项f扩展为f（t,x（t））,其中,f：[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是连续的.利用锥上的Krasnosel’skii不动点定理,得到了其至少存在一个非零正解,且再附加某些条件之后,得到了至少n个正解的存在性.可见,此篇文章将（Ⅰ）进行了一定程度的扩展,但同样非线性项f都不具有任何奇异性.孙永平在2005年研究了下面的三阶三点边值问题其中,f：[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞),a：（0,1）→[0,+∞),λ＞0.可见,f不具有任何奇异性,而a（t）允许在t=0,t=1处有适当的奇异性.此文同样利用锥上的Krasnosel’skii不动点定理,并给定非线性项f超线性或次线性,得到了BVP（Ⅱ）至少存在一个正解以及至少两个正解的存在性.此文在克服a（t）的奇异性时,引入了不具有奇异性的an（t）,使得,当n→+∞时,an（t）→a（t）,再结合逼近技巧Ascoli-Arzela定理,便可得相应的结论. 姚庆六在2009年研究了当BVP（Ⅱ）中的λ=1时的三阶三点奇异微分方程的边值问题,且非线性项f：（0,1）×（0,+∞）→[0,+∞)是连续的,可见,f（t,x（t））在t=0,t=1和x=0时,均具有了奇异性,将BVP（Ⅱ）的应用范围进行了扩展.本文在克服f的奇异性时,定义了算子Tn→T是一致成立的,且利用Tn的全连续性证得算子T的全连续性,其中,（Tx）（t）=∫01G（t,s）a（t）f（t,x（t））ds.结合锥拉压不动点定理得到了至少存在两个正解以及n个正解的存在性.这篇文章将非线性项限制在一个有界子集中,再结合其他的条件,可以得到BVP（Ⅱ）（当λ=1时）的正解的存在性.那么如何得到更直观的存在性条件,就是本篇文章要解决的问题. 从以上的文章可看到,在关于正解的文章里,大多数要求非线性项是非负的,使得所产生的算子是一个锥映射,从而可以运用锥中的不动点指数理论讨论正解的存在性.对于非线性项变号的情形,所产生的算在也就不一定是锥映射了,从而就不能直接利用不动点指数理论研究解的存在性.那么就要对非线性项做一下相应的处理,使得能够间接利用不动点指数理论,从而得到边值问题解的存在性.近年来,对这类边值问题的研究也引起了众多科学家的关注,当然也有了不少成果. 2003年,姚庆六研究了以下三阶三点变号边值问题：其中,η∈（1/2,1）,f：[0,1]×[0,+∞)→（-∞,+∞）是连续的且可能是变号的,但是存在一个M＞0,使得f（t,x）+M＞0.那么当λ∈（0,λ）时,利用锥拉压不动点定理便可得到BVP（Ⅲ）至少存在一个正解.2004年,于慧敏将BVP（Ⅲ）进行了扩展,考虑了当非线性项f（t,x）在t=0,t=1和x=0奇异时变号边值问题正解的存在性.同样在以上的条件下,利用不动点指数理论,奇异变号的边值问题至少存在两个非零正解.从上面我们可以看出,为了保证解得存在性,λ起到了一定的控制性,要属于一个特殊的区间.同年,徐西安研究了二阶三点奇异变号的微分方程边值问题,在一定的条件下,得到了多个正解的存在性.我的文章中的一些思想也来自于这篇文章. 近年来,也有不少学者考虑当非线性项f不仅仅与x有关,还依赖于x’,甚至于更高阶的导数时,边值问题正解的存在性,例[5][6][11][28].而对于以下三阶三点微分方程边值问题：至今还没有人考虑,本文的第二章就研究了这个问题,其中,η∈[1/2,1).利用不动点指数理论和逼近技巧得到了,当f非奇异,奇异时其正解的存在性.最后给出了例子. 本文的第一章考虑了三阶三点边值问题：同样利用不动点指数理论以及逼近技巧得到了,当非线性项f奇异,变号时其正解的存在性,结果比文献[23][29][31]要广.最后分别给出例子,以证明定理的应用性.