不定方程不仅自身发展异常活跃,而且全面应用于离散数学的其他各个领域,它对人们学习研究和解决实际问题有着重要的作用。因此,国内外有诸多学者对不定方程进行着广泛而深入的研究。随着不定方程的推动,代数数论取得了最初的形成和发展。目前,代数数论已成为数学中一个内容异常丰富的分支,也是研究不定方程的重要工具。作为代数数论中的重要组成部分,二次域及二次域中的算术对研究不定方程有着重要的作用。对某些D,其二次域Q ( D )是Euclid域,因此在这些二次代数整数环Q ( D )中算术基本定理成立,我们可以建立和Z中同样的整除理论去解某些不定方程。关于用代数数论知识解答不定方程x~2 + D = 4 pn( D>0)已经有不少研究工作,特别是通过讨论虚二次域类数的可除性来研究不定方程x~2 + D =4 pn(D是适合p D的正奇数,且D≠4 p r? 1,其中r是正整数)的解数。本文主要利用二次域中的重要理论、二次代数整数环Q ( D )中算术基本定理以及Maple程序,主要证明了六个不定方程x~2 + D = 4y~5(D=7,11,-5,-13,-21,-29)的所有整数解,分四个章节来说明。第一章综述了关于不定方程x~2 + D =4 pn及用代数数论解某些不定方程的国内外研究现状。第二章给出了全文的预备知识,对二次域、二次Euclid域中的重要理论和二次代数整数环Q ( D )中算术基本定理都有详细的介绍。第三章主要分六节具体证明了不定方程x~2 + D = 4y~5(D=7,11,-5,-13,-21,-29)的所有整数解。第一节证明了不定方程x~2 + 7 = 4y~5仅有整数解为( x , y )=(±11,2);第二节证明了不定方程x~2 + 11 = 4y~5仅有整数解为( x , y )=(±31,3);第三节证明了不定方程x~2 - 5 = 4y~5仅有整数解为( x , y )=(±1,-1)、(±3,1);第四节证明了不定方程x~2 - 13 = 4y~5仅有整数解为( x , y )=(±3,-1);第五节证明了不定方程x~2 - 21 = 4y~5仅有整数解为( x , y )=(±5,1);第六节证明了不定方程x~2 - 29 = 4y~5仅有整数解为( x , y )=(±5,-1)。第四章对全文作了一个总结,并对未来可能的发展方向提出了一些有待研究的问题。本文中的主要结果在第三章给出。