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当代研究破产论的国际著名学者Han U Gerber和Elias S.W.Shiu于上世纪末首次提出破产时刻罚金折现期望（即Gerber-Shiu函数）的概念.风险理论中的一些有兴趣的重要精算量都是破产时刻罚金折现期望的特例，这些精算量包括破产概率、破产时刻的Laplace变换、破产前瞬间盈余和破产时赤字的联合分布等.作为一个重要的风险度量工具，Gerber-Shiu函数在破产理论的研究中得到了广泛的应用.之后,Gerber[17]，Gerber和Shiu[18]又将经典风险模型推广为审核发生的时间间隔符合指数分布的更新风险模型,Albrecher和Stefan Thonhauser[2]研究了此类模型的破产概率。经典风险理论主要处理保险事务中的随机风险模型，讨论在有限的时间内的破产时刻以及破产概率等.模型依时间分为连续时间模型和离散时间模型，连续时间模型有较多的研究结果,如Lungberg不等式和Gamer-Lungberg近似公式.后来Feller, Gerber, Gordon,Willmot等运用随机过程的理论与方法，取得许多好的结果.而对离散时间模型研究较少，如Alberecher和Thonhauser[1,2]研究了随机观察下复合泊松风险模型的期望折现罚金函数问题和分红问题.Dickson和Hipp[8]分别讨论了审核时间服从Erlang(2)风险过程时的破产时刻和破产概率。 本研究分为三个部分：第一部分为引言,介绍了风险模型的研究现状，给出了本文中用到的符号和公式,并解释了它们所表示的意义。第二部分,考虑复合泊松风险模型中观察间隔为均匀分布时的期望贴现罚金函数.首先，通过全概率公式给出了审核时间间隔服从均匀分布的折现期望罚金函数.其次，通过考虑增量拉普拉斯变换给出期望贴现罚金函数满足更新方程.最后，针对指数索赔，利用积分微分方程，计算出Gerber-Shiu函数的具体表达式。第三部分，考虑复合泊松风险模型中观察间隔为混合指数分布时的期望贴现罚金函数.首先，通过全概率公式给出了审核时间间隔服从混合指数分布的折现期望罚金函数.其次，通过考虑增量拉普拉斯变换给出期望贴现罚金函数满足的更新方程.然后，针对指数索赔,计算出Gerber-Shiu函数的具体表达式。最后,在有破产相关数据的情况下，利用mathmatic软件，得出数值计算和图表展示.比较随机观察时间的效果。