本文主要研究了有限点方法和数值激波不稳定现象.主要结果有:　　1.对二维光滑函数，推导与给出了在任一点上二阶方向微商的极值公式，即一阶微商的梯度公式.设给定三个互不平行方向上的二阶方向微商，或者给定两个不平行方向上的二阶微商及其混合微商，本文分别给出了二阶方向微商达到极大值和极小值的方向，以及相应的极大值公式与极小值公式.极大值方向与极小值方向是垂直的.　　2.利用二阶方向微商关系式，推导与给出了第二类一阶方向微商的四点近似公式;讨论了三点公式四点公式在不同意义下的差异;给出了从两点公式到五点公式的截断误差不断递减的结论.　　3.在二维非规则区域的散乱离散点集上，应用有限点公式，对多个算例，成功地和有效地数值求解了椭圆型方程的第一边值问题.数值结果表明，有限点方法具有较好的计算精度与收敛速度.一般说来，一阶微商具有接近二阶的精度，二阶微商具有接近一阶的精度.　　4.对双曲守恒律方程的有限点方法，开展了选点方法，人工粘性方法与格式构造研究，获得了初步成果与较深刻的认识:对间断较弱的二维问题，获得了较满意的二维图像;对一般的二维问题，需根据流场的方向性以及间断的形态，恰当地选择邻点与粘性.　　5.对二维流体力学有限体积方法应用中出现的激波不稳定现象，给出了混合格式的设计方法，取得了良好的消除激波不稳定性的效果.主要做法为:对连续性方程以及动量方程之一，采用已有的消除激波不稳定性通量，如混合HLL通量等;而对能量方程及另一动量方程仍采用原有通量.我们利用混合方法，有效地消除了Roe格式，HLLC格式和AUSMD格式等的数值激波不稳定现象.该方法计算效率高，激波分辨率好.