【摘 要】
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相场模型是由偏微分方程描述的数学模型,具有非常丰富的数学意义,且相场的数值模拟有利于发展偏微分方程数值理论、数值代数理论和Sobolev空间理论,同时也利于了解材料学中相关问题,为制造材料及研究材料科学提供丰富的理论依据.而Allen-Cahn方程是相场模型中一类重要方程.1979年,该方程由Allen和Cahn首次提出,用于描述二元合金中的相分离过程和晶体固体中的反相位边界运动.Allen-Ca
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相场模型是由偏微分方程描述的数学模型,具有非常丰富的数学意义,且相场的数值模拟有利于发展偏微分方程数值理论、数值代数理论和Sobolev空间理论,同时也利于了解材料学中相关问题,为制造材料及研究材料科学提供丰富的理论依据.而Allen-Cahn方程是相场模型中一类重要方程.1979年,该方程由Allen和Cahn首次提出,用于描述二元合金中的相分离过程和晶体固体中的反相位边界运动.Allen-Cahn方程的应用十分广泛,但是由于其方程的复杂性,真解解析表达式很难求得,因而采用数值方法对该方程进行求解就显得尤为重要.关于这类模型的数值方法已经有很多研究,比如有限差分法、有限元法和谱方法等等。本文的主要工作是研究二维的带有Dirichlet边界条件的Allen-Cahn方程的三种有限差分格式,分别是二层非线性差分格式、三层线性化差分格式以及ADI差分格式.同时也介绍对应的差分格式理论分析,包括差分格式解的存在唯一性、无穷范数下的无条件收敛性及数值解的最大值原理,并给出对应数值算例,数值结果表明了所提格式的有效性.具体地说,针对二维的非线性Allen-Cahn方程,首先建立了二层非线性差分格式,并给出差分格式的截断误差.运用Browder定理,证明了差分格式数值解的存在性,引入辅助函数,采用能量分析方法及2分析法证明了数值解在无穷范数下无条件收敛;其次建立三层线性化差分格式,证明其解的有界性和唯一性,采用2分析法证明数值解在无穷范数下无条件收敛;最后建立ADI差分格式,并完成差分格式解的存在性和无条件收敛的证明.在此基础上,验证出在一定条件下,差分格式数值解满足最大值原理并解除了步长比的限制.
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