图谱理论是代数图论的一个重要的研究课题,主要包括图的邻接谱、拉普拉斯谱、无号拉普拉斯谱和规范拉普拉斯谱等理论,其研究的主要途径是利用矩阵理论、线性代数等代数的工具和技巧,结合图论与组合数学的理论与方法来研究图的谱(即图的邻接矩阵的全体特征值,也称邻接谱),以及图的谱与图的不变量、图的结构性质之间的关系.图的谱在量子化学、电网络与振动理论中有着非常广泛的应用.图的拉普拉斯系数和分子图的多个拓扑指标有重要的联系,其中包括Wiener指标和超Wiener指标.并且Wiener指标被认为是最有价值的拓扑指标之一,它与分子混合物的许多物理和化学性质有着紧密的联系,在有机分子物的化学应用中发挥了巨大的作用.同时,拉普拉斯系数和拟拉普拉斯能量有紧密的联系,而拟拉普拉斯能量与分子图的能量有类似的特性.图的无号拉普拉斯谱半径的问题在图论、偏微分方程定解问题、矩阵理论中的重要性以及在量子化学、复杂网络、生物学中的应用而被广泛关注.同时,在邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和无号拉普拉斯矩阵中,无号拉普拉斯矩阵在反映图的性质上是最有效率的.所以,研究图的无号拉普拉斯谱半径具有重要的理论和应用价值.本文主要研究给定图类的拉普拉斯系数和无号拉普拉斯谱半径的极值图,具体工作包括以下几个方面:1.研究了三圈图的拉普拉斯系数.根据三圈图的结构,结合前人的研究成果,给出一些图的变换,并通过这些变换使得图的拉普拉斯系数变小;作为所得结果的应用,给出n阶三圈图中拉普拉斯系数最小的极图.2.研究了给定悬挂点的单圈图的拉普拉斯系数.结合单圈图的结构特点,给出一些图的变换,通过这些变换使得图的拉普拉斯系数减小,最后确定了当悬挂点的个数给定的时候,拉普拉斯系数最小的单圈图的极图.3.研究了n阶双圈图中的拉普拉斯系数最大的极图.总起来说,讨论拉普拉斯系数最大值的极图是比较困难的.到目前为止,只有关于树和单圈图的拉普拉斯系数的最大值的给出了极图.本文在前人研究的基础上首先给出一些使拉普拉斯系数变大的图的变换,最后得到了n阶双圈图中拉普拉斯系数最大的极图.4.利用特征向量和特征多项式的技巧,考虑了在各种扰动下,无号拉普拉斯谱半径的变化情况,最后作为所得结果的应用,研究了n个顶点且直径为d的双圈图和三圈图的无号拉普拉斯谱半径,给出了具有最大无号拉普拉斯谱半径的极图.同时,按照无号拉普拉斯谱递减的顺序,在所有的n阶双圈图中,给出了前三个图的排序;在所有的n阶三圈图中,给出了无号拉普拉斯谱半径最大的两个图.