在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物方程或方程组描述的。因此，用有限差分方法数值求解抛物偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值，有限差分方法现有的研究工作大都是关于人们所熟悉的二阶抛物方程，至于高阶扩散方程，相应显格式的稳定性条件比较苛刻，并且其隐格式要大规模求解7对角方程组，因此有必要寻找有效的方法解决这类问题。 本文针对一类高阶扩散方程的初边值问题，利用有限差分法给出了其显式差分格式、隐式差分格式，分析了格式的局部截断误差和稳定性条件；并且还对该问题进行了整体区域分裂，给出了并行有限差分格式，在内界点上使用显式计算，然后在每个子区域内使用隐式格式联立求解整个子区域，在同一时间层上各子区域的计算是完全并行的。这种局部的大步长显式计算一般不会使该算法的整体收敛阶降低，具有计算简单，易于实现的特点，其数值试验结果表明，在精度与古典显格式相当的情形下，这种并行计算格式的稳定性比显格式要好得多，同时还能实现计算的并行.本文的主要工作分为以下几部分.1.线性问题的有限差分近似我们考虑如下典型六阶抛物方程的初边值问题丝_、塾一亚一些月子月，6月，4月，2仁产LL沪‘LL沪J沪L产J边值(2) 0 一一 ﹃.立 n曰 一一 工 U一.5丘一X口一a 二 0 一一 工 祝一33一X口一口 一一 0 一一 X 舰一X口一口以及初值 二(x){‘一。=。o(x).利用差商近似代替微商的方法，得到如下显格式(3)。罗+‘一“:。梦+。一:(6k+h，)。孔，+:(15“+4h2一h‘)。孔，+(l一6:h，一20“r+2:h‘)。罗+:(15k+4h，一h‘)二罗一，一r(6k+h，)。乡一，+kr”乡一3， 了=O，l，2，…，N和隐格式 一从。州十:(6‘十护)。那+:尸一‘5左一4h，)u界户十(，+ZOk:+6动2 一2:心可十l+:时一15“一4的心扮+:渺+hz)u黔一r“可绪一岭边界条件为 可二“与“又一了一u失十二:二1，2，3.关于显、隐格式的稳定性及局部截断误差有如下两个定理.定理1设函数斌x，t)充分光滑件为厂<二，，犷 32凡且局部截断误差为衅显式格式(3)，(4)，(6)的稳定性条=o(二十矿).定理2设函数试二，约充分光滑，隐式差分格式(3)，(5)，(6)的局部截断误差为衅十‘=O(二+矿)，且该隐式差分格式是绝对稳定的.2.一类非线性问题的有限差分近似使用适当的差商近似替代方程(l)中的微商，得到如下的差分显格式方程可+‘一rk”头。一6rk“界2+l加无可、，+(1一20r助畔+l5r凡可一1一6·、视:2十·、祝、3一h3”(“梦+:一“罗 /u乎，，一祝乎、+3rh‘H戈一才三夕、、、，户/n少 -一牡一3:。3H子…竺二卫呈三、 \九/ /祝梦，一牡梦八+r尸叹一沐厂二全夕+Th‘(A(。孔1)一ZA(“梦)+A(“罗一，))·(，=o，l，2，二(7)对典型情形H(s)=，，将川司写成。Al回，则方程(l)可写成如下形式几。.几6，几4。.门2L，“】口以.口u口了月z、、n京一‘百二百十百石一万二百又u八1又，a))=U.L产‘几吸少J产以沈，少J砂(8)使用适当的差商近似替代方程(s)中的微商得如下差分隐格式一:执招+r脉十码。粼一:尸A飞(可十1)+1肤+“峭)心衬+(l+Zokr+6rhZ+Zrh‘A，(二梦))二梦十‘一:(h‘A，(二罗一:)+15无+4h2)“梦士子+r泌+钧。尽一:凡可绍一畔(9)关于非线性显格式及隐格式的局部截断误差有如下定理.定理3设函数万(s)，几(。)充分光滑，贝，J分另，」由(3)，(6)，(7)和(3)，(6)，(9)式定义的非线性显格式，非线性隐格式的局部截断误差为衅=O(丁十矿).数值试验表明非线性显格式的稳定性几乎与线性显格式的稳定性相同.3.并行差分格式假设了=xk一1，云=x*，厂=从+，，k是整数，大步长△x=D气D是正的整数，且△X兰min风_l，1一尸).如果:=O或:=时，网格点(x;，沪)称为边界点，如果j=k一1，或j二且n>o时称之为内界点，称其它网格点为内点.N，或者n=o无，或]=丸+1 本节构造并行差分格式的基本方法是:在内界点使用向前差商替代关于时间的求导运算，在内点及边界点使用向后差商替代关于时间的求导运算，在内界点用大步长△x，在其它点使用小步长h及中心差商对方程中的关于空间变量的各项求导运算进行替代.线性情形的并行差分格式 由于方程(l)含有六阶偏导数，所以应取三个内界点阿，tn)，(至，t“)，(、“，tn).我们定义问题(1)，(3)，(6)的近似解为网格函数U={。罗}，它满足如下的差分方程，在内界点标‘，t“)，(‘，t”)，(云‘，，tn)心+‘一可_ k△X、(“孔3。一6“孔Zn+15“孔。一20“梦+15u二。一6“)2。+“13。+△X、(“孔Zn一4“梦+D+6“罗一4“梦一n+“梦一2。)+△X、(“孔D一2”梦+“梦一。)，j=k一1，丸，k+1.