1971年著名学者J．W．Tukey在他的开拓性论文中提出了中值滤波的概念并用作时间序列平滑．中值滤波一出现就因其具有对尖脉冲的良好抑制能力及在平滑加性噪声时能保持信号的边缘特征等优点而备受瞩目.七十年代后期中值滤波已在语音和图像处理中有了成功的应用．最早对中值滤波的特性作较系统深入研究的是B.J.Justusson［19］和 S．G.Tyan[14].他们分另对中值滤波的统计特性及确定性质作了研究，得到一些很有价值的结果．1981年，N．C．Gallagher和W．L．Wise进一步研究了中值滤波的确定性质［29］，之后国际上对中值滤波的理论及应用研究非常活跃．但从信号处理的理论来看，中值滤波缺乏坚实的数学理论基础． 信号的中值滤波分为两类：有限长信号的中值滤波与无限长信号的中值滤波． 在以下所有概念，命题及定理的叙述中，k表示一个固定的正整数，Z表示整数全体． 有限长信号的中值滤波：设。是一长度为L的实数列，也称为长度为L的信号．x的力边信号由小到大重爿后位于中间的召个数．则称为信号。窗宽为 Zk＋1的中值滤波；对又可进行窗宽为的中值滤波，所得的结果记为等等．一般地，表示x经过p次窗宽为Zk＋1的中值滤波后的结果．若。则称。为窗宽为Zk十1的中值滤波的根信号，简称为根． 摘要 无限长信号的中值滤波：设正整数kZI．今若z＝…（n）卜出是实数列。则对每一。三z；我们用记号／…叫表示下面Zk干I个实数 X（。一N；X（。一k＋1），…；X（…，…；X（。十k-1）；X（。＋幻由小到大重排后位于中间的那个数．通过这样的重排运算，x＝k（叫人“变成一个新的实数列X（‘）二…川叫h“；它称为窗宽为Zk＋1的Z的中值滤波．对／‘）又可进行窗宽为孤干I的中值滤波；其结果记为Z（‘）＝仲川…小出．一般地，／。）＝k（叫…卜出表示工通过尸次窗宽为Zk十互的中值滤波后的实数列，其中／’）＝X．若X＝X（‘）．则称X为窗宽为Zk＋1的中值滤波的根信号，简称为根．设。二k（…小出是窗宽为 Zk＋l中值滤波的根，若……叫人出中任何长度为 k＋1的段落都单调，则Z称为第1类根；若广…h“中任何长度为k十1的段落都不单调，则。称为第11类根．若实数列。＝…问人哆满足（加／／）；问存在正整数X＞1；使得。二工＼则X称为循环序列． S．G．Tyan首先提出无限长信号中值滤波根的概念并研究了它的性质，给出了以下基本结果． 命题 0刀．1 窗宽为 Zk＋1无限长信号中值滤波的根或者为第 1类根，或者为第＊类根，而且第＊类根都是二值的． 若对每一。E Z，极限 tim／P）二叫叫存在且有限，则称x的中值滤波收敛；或 P－co者说｛ ）＊＊N收敛．此日N一｛叫＊儿＊Z称为x（＊）的极厂． 我们称0（。）在一个长度为L的段落上收敛，如果存在00 E z使得对每一几灿三。＜。。＋L－l；（l卜＼叫卜＞l都收敛． 有限长信号经过有限次中值滤波后必变为根信号（L15〕，129凡但是一般地。无限长信号经过有限次中值滤波后并不变为根信号，而且存在中值滤波不收敛的无限长信号．因此要研究无限长信号的中值滤波的滤波行为就必须研究无限长信号中值滤波的收敛性态这样一个数学理论问题．由干无限长信号同有限长信号有本质的差别；再加之中值滤波的非线性性，使这一理论问题的研究变得困难得多．文献 ［12］ ·2 摘要和［301研究了无限长信号中值滤波的收敛性，得到中值滤波收敛的一些序列类．周性伟（［31」，［34］）和J．Brandt［35］独立研究了中值滤波不收敛的一些序列类． 一个自然的问题是，对一般的实数列。一扣…叫h兆；当pHoo时，／…到底有怎样的变化性态．本文第一章首先完整地刻划了这一变化性态，即本文的 第一个创新点：对任何一个实数列，其奇次中值滤波列和偶次中值滤波列都收敛并刻划了它们的极限序列之间的关系．具体地说，就是 定理队o．1 任给一实数歹x－…（叫）佩。Z，则扛p叫。＞1及k（‘”一‘k＞l都收敛 设 p。）＋。x（却－川＋尸，p＋①．贝当。＝尸时，x（。）＋。，。是根；当。／0时，l和卢都是循环序歹；并且＊（＊）＝ p ／1）＝o 进一步，我们彻底解决了无限长信号中值滤波收敛与局部收敛之间的关系问题，即本文的 第二个创新点：对一个实数列；如果它的中值滤波在一个某一长度的段落上收敛，则其中值滤波必收敛．而且讨论了这种段落长度的最优问题．具体地说，就是 定理o刀S 设X二（X（…）n。z．若X（。）在一个长度为％ 一1台段落上收敛；则X（。）必收敛．而且当k三4时，段落的长度Zk—1是最优的． 在此基础上我们得到了无限长信号中值滤波收敛的一些判别准则，并研究了一个序列扰动后，其中