人的大脑具有思考、认知、学习和记忆等高级智能行为,神经解剖学家研究表明,这些智能行为都是大脑皮层中由大量神经元所构成的神经网络作用的结果。因此,研究大脑神经网络的动力学行为对于理解大脑如何产生智能行为至关重要。人工神经网络是模拟生物神经网络提出来的,递归神经网络是人工神经网络的重要组成部分,是对现实生物神经网络的模拟,其应用已经涉及到如模式识别、图像处理、计算机科学、自动控制等众多领域。人工神经网络的动力学分析是其面向应用的重要理论基础。通常,根据网络平衡点的个数,网络分为单稳定神经网络和多稳定神经网络。尽管神经网络的稳定性已经取得了丰硕的研究成果,然而,在理论研究上,依然有很多问题尚待解决。本文主要对Hopfield神经网络的单稳定性和多稳定性进行了一系列的研究。主要研究成果有:首先,分析了一维Hopfield神经网络的稳定性。讨论了一维Hopfield神经网络的平衡点的个数,平衡点的分布位置,以及平衡点的稳定性。在研究方法上,主要利用几何图形法讨论平衡点的个数和位置,利用泰勒展开式来判别平衡点的稳定性。其次,研究《维Hopfield神经网络的单稳性问题。讨论了《维Hopfield神经网络的平衡点的存在性,平衡点的唯一性,以及平衡点的全局稳定性。使用Brouwer不动点定理证明了平衡点的存在性;通过应用一些重要代数不等式推导了该网络存在唯一平衡点的充分条件;构造了一个合适的Lyapunov函数,获得了平衡点的全局渐近稳定性的条件,以及全局指数稳定的判据。最后,研究n维Hopfield神经网络的多稳性问题。受一维Hopfield神经网络研究的启发,通过构造一个映射,结合Brouwer不动点定理推导了《维Hopfield神经网络存在3n个平衡点的充分条件;通过盖尔圆盘定理、Hartman-Grobman线性化定理证明了在这3n个平衡点中,有2n个平衡点是渐近稳定的;通过构造了 Lyapunov函数,获得了n维Hopfield神经网络有2n个指数稳定平衡点的条件。