涉及界面问题的带间断系数双曲型方程有重要的物理意义和应用背景。计算数学在此领域的研究方兴未艾,研究成果层出不穷。大部分论文致力于捕捉方程演化过程中的物理界面,发展兼顾高分辨率和稳定性的数值格式,以及估计数值误差等方面;关注的方程有对流方程、刘维尔方程、输运方程、薛定谔方程等等。本文分为以下相对独立的四章。第一章是绪论部分,我们将着重介绍本课题的研究背景、国内外研究现状和本论文创新之处。后续章节是本文作者在攻读博士学位期间的工作。第一章我们介绍了界面问题相关的背景知识,例如量子隧道效应,各向异性介质中的高频波问题,以及冰川融化的模型,海洋表面的波相互作用等等。我们也列举了在此领域的主要研究成果,例如界面跃迁法、保哈密尔顿量数值格式、浸入界面法等等数值格式。同时我们也总结强调了本文工作的重要性和创新点。第二章介绍了保能量的界面跃迁格式。含时薛定谔方程可以用来描述分子动力学的量子力学机制。由于分子结构的高维度,数值求解这个方程代价昂贵。基于这个方程的Born-Oppenheimer近似的半经典极限—刘维尔方程和利用保持能量守恒的物理条件,我们提出了保能量的界面跃迁格式,获得了更高的数值精度。第三章对带有间断势函数的刘维尔方程的差分格式做了误差估计。我们旨在估计第二章中提出数值格式的误差。欧拉形式的界面跃迁法与Jin和Wen为带有不连续势函数的刘维尔方程提出的保哈密尔顿量数值格式类似。在避免使用特征线构造解析解的情况下,我们为保哈密尔顿量数值格式提出了形式简洁的?~1范数意义下的误差估计方法,相比前人的工作有更好的推广性。第四章介绍了求解带有移动界面的线性对流方程的数值格式。我们旨在数值求解带有含时界面条件的刘维尔方程。刘维尔方程阐述了相空间中的粒子密度守恒。我们从研究带有随时间变化波速的线性守恒律方程入手。我们在一个一致大小的笛卡尔网格上导出了相应的积分方程形式。然后构建数值格式将界面移动影响纳入通量和源项,并与高分辨率格式相结合以提高精度。最后,作者将本工作的创新点总结如下:1)首次将保持能量守恒的物理条件加入界面跃迁计算格式,得到了比前人文献中精度更好的计算结果;2)对带有间断势函数的刘维尔方程的差分格式进行了误差估计,获得了比以往文献中更为简洁的证明,具有更好的推广性;3)对带有随时间变化波速的线性对流方程首次构造了能够捕捉物理界面变化的计算格式。