【摘 要】
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代数图论是图论学科的重要研究领域之一,主要运用代数方法来解决图论问题.代数图论有三个主要分支,分别为图与线性代数,图与群论,图不变量.其中图与线性代数的研究核心是图的谱理论.图谱理论是通过研究与图相关的矩阵（邻接矩阵,拉普拉斯矩阵,无符号拉普拉斯矩阵,正规拉普拉斯矩阵和距离矩阵等）的谱的性质来研究图的组合性质.图谱理论研究兴起于20世纪50-60年代,近20-30年来得到迅猛的发展,它是图论,组合
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代数图论是图论学科的重要研究领域之一,主要运用代数方法来解决图论问题.代数图论有三个主要分支,分别为图与线性代数,图与群论,图不变量.其中图与线性代数的研究核心是图的谱理论.图谱理论是通过研究与图相关的矩阵（邻接矩阵,拉普拉斯矩阵,无符号拉普拉斯矩阵,正规拉普拉斯矩阵和距离矩阵等）的谱的性质来研究图的组合性质.图谱理论研究兴起于20世纪50-60年代,近20-30年来得到迅猛的发展,它是图论,组合与代数的一个交叉研究领域,是代数图论的重要研究分支.1957年,L.Collatz和U.Sinogowitz的数学论文”Spektren Endhcher Grafen”被视为图谱理论研究的开端,经过50多年的发展,它在图论,物理,量子化学,计算机科学,互联网技术等许多方面都有广泛的应用.图的谱特征往往可以反映出图的结构特征,而不同特征值输数目较少的图通常具有特殊的结构特征（如高度对称性）与较好的组合性质.目前,对含有三个或四个不同特征值的图的谱刻画已取得许多重要进展.然而,对于给定的k<7,恰有k个不同特征值的图的谱刻画问题还远未解决或未完整解决.基于此,本文研究不同特征值数目较少的图的谱刻画问题,主要包括有一个拉普拉斯特征值重数较大的图的谱刻画和邻接特征值数目较少的道半正则图的谱刻画.本文分为三章,具体结构如下:第一章主要介绍了图谱理论的研究背景,接着引入了本文所用到的符号与概念.随后对问题的研究背景以及研究进展作了概述.最后介绍了本文的主要结果.第二章研究了拉普拉斯特征值重数mL（μ）≥n-4的图的谱刻画.首先刻画了集合GL（n,n-3）中的图,即,有一个拉普拉斯特征值是n-3重的图.该类图具有三个或四个不同的拉普拉斯特征值.通过排除若干禁用子图得出结论,GL（n,n-3）中的图,除了Gn,r外均为余图（cograph）,即不含导出P4的图,从而确定了所有这类图.最终与Mohammadian和Tayfeh-Rezaie的结果（GL（n,n-3）中有四个不同拉普拉斯特征值的图的谱刻画）构成了GL（n,n-3）中图类的完整刻画.其次对集合GL+（n,n-4）中的图,即拉普拉斯谱半径为n-4重的图进行了研究.通过排除所有禁用子图得出结论,拉普拉斯谱半径为n-4重的图均为余图（cograph）,从而给出了GL+（n,n-4）（n≥8）中的图的完整刻画.进一步地,我们给出了GL-（n,n-4）（n≥8）,即次小拉普拉斯特征值为n-4重的图的完整刻画.同时证明了,所刻画的图类都是DLS图（由拉普拉斯谱唯一确定的图）.第三章研究了道半正则图的邻接谱刻画.首先给出了道半正则图的定义,即,设G是一个（V1,V2）-半正则图,对任意l>0,从v∈Vi（i=1或2）出发的l长闭道数与v的选取无关,则称G是道半正则图.一个道半正则图一定是半正则图,但是反之则不然.我们证明了,道半正则图一定具有半正则二等价划分,反之,给出了一个半正则二等价划分图成为道半正则图的充分条件.其次重点刻画了具有四个不同特征值的道半正则非偶图.令GW（t,s）表示具有t个不同特征值,其中s个是单特征值（重数为1）的连通非偶道半正则图集合.令GW（t,s;λ）表示含特征值λ的集合GW（t,s）的子集.先确定了集合GW（3,s）（s≤2）中的图,给出了GW（4,3）中图的完整刻画;之后讨论了GW（4,2）中图的性质,重点刻画了GW（4,2;0）中的图类.最后研究了道半正则偶图的相关性质,就偶图的零度（特征值0的重数）达到最大,最小和次小时,刻画了具有五个不同特征值的道半正则偶图.进一步地,针对零度为其他情况时,讨论了这类偶图的存在性并给出了一个必要条件.
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代数图论是图论研究的一个重要领域,它广泛的应用于生命科学,计算机网络,组合优化,生物化学,分子理论等学科中.图的谱刻画理论是代数图论的一个重要的研究方向,它用矩阵论、组合设计、群论等知识来研究图与图矩阵的特征多项式、特征值以及特征向量有关的各种代数参数、组合参数,从而得到谱与图的结构性质之间的关系.因此,利用图的谱来确定图,即图的谱确定问题是图的谱刻画理论中的一个主要课题.所以刻画具有较少的正特征
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代数图论是通过运用线性代数、群论、组合设计等知识来分析图的代数性质,从而刻画图的组合结构的一门学科,它是图论研究的一个重要分支.作为代数图论的一个重要研究方向,图谱理论主要研究与图相关的矩阵的特征多项式、特征值、特征子空间等相关的代数参数性质,以及它们与图结构属性之间的关系.高度对称图是指具有较强对称性的图,从代数上看就是具有较大自同构群的图,它们往往具有良好的代数组合性质,是连接图论、组合设计和
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