不动点理论与方法是非线性泛函分析的一个分支,是证明常微分方程解的存在唯一性理论的支撑,并推动着常微分方程数值解迭代算法的发展。上世纪数学工作者对不动点问题的主要研究,从对其存在性的分析转变为对不动点迭代算法的研究。对于各种迭代算法不仅可以判定不动点的存在性和唯一性,还可以构造不动点问题的迭代算子,若算子是压缩的则可以使数值解达到任意精确程度。为求非线性算子不动点的迭代逼近,历史上出现过多种迭代格式,如Picard迭代格式、Mann迭代格式、Ishikawa迭代格式等。常微分方程的数值解的迭代算法也是很完整的算法体系,将这些算法应用到不动点迭代逼近问题的研究有很重要的意义,这样可以拓宽求解不动点的迭代算法体系,完善不动点的算法体系。本文以求微分方程数值解的迭代算法和不动点理论为基础,构造出新的不动点迭代算法。研究的主要内容分为如下三部分:第一部分,基于隐式Simpson方法的不动点迭代算法及其推广算法。在已有的梯形公式不动点迭代算法基础上,利用Euler公式构造了基于隐式Simpson方法的不动点迭代算法,并证明了该算法的弱收敛性及相关性质。在类比能够达到N个节点的微分方程的高阶数值格式下,推广上述基于隐式Simpson方法到隐式多步迭代算法,利用联立代数重构技术,最后得到类似Mann迭代的凸组合形式的不动点迭代算法,并证明了该算法的弱收敛性及相关性质。第二部分,基于隐式Runge-Kutta方法的不动点迭代算法及其推广算法。在已有的隐式中点公式不动点迭代算法基础上,结合Euler公式建立了基于隐式Runge-Kutta方法的不动点迭代算法,并证明了该算法的弱收敛性及相关性质。推广前面基于隐式Runge-Kutta方法的不动点迭代算法,达到基于N个节点的隐式Runge-Kutta方法的迭代算法,利用联立代数重构技术,最后得到类似Mann迭代的凸组合形式的不动点迭代算法,并证明了该算法的弱收敛性及相关性质。第三部分,将前面构造的迭代算法应用在求解分裂可行性问题和多集分裂可行性问题中,举例说明算法的具体应用,给出新算法的迭代格式和新的参数范围,改变了迭代格式的迭代计算过程。