【摘 要】
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子图存在性问题是图论研究的一个热点,对其进行研究不但有重大的理论意义,而且在理论计算机科学、生命科学、管理科学和信息科学中有很强的应用背景.本论文主要研究图中参数与特定子图存在性之间的关系,全文共分四章,主要’内容如下:在第一章,我们首先给出了文中出现的一些基本概念和符号.接着介绍了本文的研究背景和研究意义,国内外在这方面的研究情况.通过对本文研究背景及研究现状的讨论,说明了本文主要研究工作的必要
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子图存在性问题是图论研究的一个热点,对其进行研究不但有重大的理论意义,而且在理论计算机科学、生命科学、管理科学和信息科学中有很强的应用背景.本论文主要研究图中参数与特定子图存在性之间的关系,全文共分四章,主要’内容如下:在第一章,我们首先给出了文中出现的一些基本概念和符号.接着介绍了本文的研究背景和研究意义,国内外在这方面的研究情况.通过对本文研究背景及研究现状的讨论,说明了本文主要研究工作的必要性和创新性.在第二章,我们主要研究高连通图中过给定点集的长圈的存在性问题.该部分研究源于Locke和张存铨教授[47]提出的下述问题:设k和m为满足k ≥ 2和m>k的正整数,G是一个最小度为d的k-连通图.对于G中任意m个点组成的可圈子集X,G中是否存在一个过X的长度至少为min{2d,|V（G）|}的圈?在本章,我们解决了情形k+1≤m≤[4k+1/3],改进了 Fujisawa和Yamashita在[Journal of Graph Theory 58（2008）,179-190]中得到的相关结果.在第三章,我们主要研究图中与给定点子集划分相关的点不交连通子图的存在性问题.设S（?）V（G）如果对于集合S的任意非空子集划分S1,S2,,St,G中都存在点不交的连通子图C1,C2,,Ct使对每个i = 1,2,,t都有Si（?）g V（Ci）,那么称（G,S）是密接的.若对G的所有阶数为l的子集S都有（G,S）是密接的,则称G是l-密接图.在本章,我们首先给出判定一个图为l-密接图的度条件,并说明该度条件是最好可能的.接下来,我们证明每个6l-连通图都是l-密接图,该结果推广了Kawarabayashi 和喻革新教授在[J.Combin.Theory Ser.B 103（2013）,320-326]中的主要定理.此章节我们还应用所得结果研究了 Hadwiger猜想的极小反例,证明了下述结果:如果G是一个不含Kk-子式的k-色图,并且G在子式的意义下极小,那么G是[k/6]-连通的.在第四章,我们研究了线性森林P4 ∪P3∪tP2的饱和数.图的饱和数的概念由著名图论专家 Erdos 等[A problem in graph theory,Amer.Math.Monthly 71（1964）,1107-1110]提出.此章节我们证明了下述结论:设n,t为满足n≥6t +22的正整数,则sat（n,P4 ∪ P3 ∪ tP2）=3t+ 10,并且G ∈ SAT（n.P4 ∪ P3 ∪tP2）当且仅当G≌K5 ∪ tK3 ∪（n-3t-5）K1.
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