【摘 要】
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在三维空间中，根据粒子的自旋将粒子分为满足玻色——爱因斯坦统计的玻色子以及满足费米——狄拉克统计的费米子。而二维空间的旋转群是阿贝尔群，阿贝尔群的特性使得在二维空间中可能存在统计规律介于费米子和玻色子之间的准粒子，即任意子，任意子的正则角动量在二维空间中可以取任意分数值。
在先前的研究中，分数角动量多依赖于带电粒子与磁场的相互作用来实现。本文我们采用原子这一电中性的粒子，来实现分数角动量。具体来说，我们主要研究通过具有固有电偶极矩的原子和磁场相互作用，在对易空间和非对易空间实现分数角动量的方法。
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在三维空间中，根据粒子的自旋将粒子分为满足玻色——爱因斯坦统计的玻色子以及满足费米——狄拉克统计的费米子。而二维空间的旋转群是阿贝尔群，阿贝尔群的特性使得在二维空间中可能存在统计规律介于费米子和玻色子之间的准粒子，即任意子，任意子的正则角动量在二维空间中可以取任意分数值。
在先前的研究中，分数角动量多依赖于带电粒子与磁场的相互作用来实现。本文我们采用原子这一电中性的粒子，来实现分数角动量。具体来说，我们主要研究通过具有固有电偶极矩的原子和磁场相互作用，在对易空间和非对易空间实现分数角动量的方法。
在对易空间，我们分别使用了不同的磁场来实现Cyons和Anyons，并且在实现Anyons的过程中，我们使用了解析解的方法精确的求解了能谱。除此之外，我们发现，通过使用冷原子技术，将原子冻结到可以忽略其动能的状态时，可以从其约化模型中获得分数角动量，与此同时，也可以实现Chern-Simons量子力学。
而在非对易空间，我们使用具有固有电偶极矩的原子和磁场相互作用的模型，引入了有效规范势和与其相对应的有效磁场的概念。对于此模型，我们分别使用了两种不同的方法求解了其能谱和相对应的正则角动量。一种是通过Bopp映射，将非对易空间中的动量和坐标映射到对易空间，采用Bogoliubov变换求解该模型的能谱和正则角动量;另一种方法则是通过引入新的产生湮灭算符，直接在非对易空间求解其能谱和正则角动量。此外，我们还发现，在非对易空间，存在着更为丰富的方法来获得分数角动量。一种是使反映空间非对易性的参数κ=0，另一种则是通过冷原子技术，将原子冻结到其动能可以忽略不计状态下，通过其相应的约化模型，也可以获得分数角动量。
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