湍流是流体运动中表现最为复杂的形式，其中均匀各向同性湍流是一种最简单并具有代表性的湍流，也是目前研究最多的一种情况。自20世纪70年代以来，直接数值模拟作为研究湍流机理的一种重要途径，得到了越来越广泛的应用，也取得了显著的效果。　　 二维湍流有着许多不同于三维湍流的物理特性，其直接数值模拟更为简单，其研究相对成熟。二维各向同性湍流的流体动力学方程为二维Navier-Stokes方程，以往的直接数值模拟研究大多采用经典傅里叶谱方法。经典傅里叶谱方法在物理空间中采用矩形区域作为方程的求解区域，并在两个方向上同时施加周期性边界条件。　　 本文在六边形傅里叶分析[38，39，55，56，61]及六边形快速傅里叶变换[6，32，36]的基础上，提出了二维各向同性湍流直接数值模拟的六边形傅里叶谱方法。六边形傅里叶谱方法使用六边形晶格(lattice)的Wigner-Seitz原胞（正六边形）作为方程的求解区域。与经典傅里叶谱方法相比，六边形谱方法有很好的各向同性，其中六边形晶格的采样效率比传统四边形晶格高出(π/√12-π/4)/（π/√12）≈13.4％[22，page7].与经典的傅里叶谱方法一样，六边形傅里叶谱方法也采用傅里叶函数{eiκtx}作为基函数，但这里的波向量κ并非为整数对，它须为六边形晶格的倒易晶格(reciprocal lattice)中的向量。　　 借鉴文献[11，34]中构造离散格式的方法，我们构造了二维Navier-Stokes方程的六边形傅里叶谱方法的离散格式。为了高效求解，我们采用科学计算领域广泛使用的GPU高性能平台。根据二维Navier-Stokes方程的具体形式和六边形傅里叶谱方法的特点，我们对方程的求解算法进行了多方面的优化，其中包括设计非线性Jacobian项的快速求解算法、优化六边形快速傅里叶变换算法。经过优化之后方程的计算复杂度减少了大约30％;另外根据GPU的体系结构特点和数值模拟程序的功能要求，在程序的编制过程中，采用避免主存与显存之间的数据拷贝、增加并行粒度、优化存储层次、合并kernel函数等方法对程序进行性能优化。与CPU程序相比，GPU程序获得了最高50倍的加速比。　　 利用高效的GPU直接数值模拟程序，我们对六边形傅里叶谱方法、对偶六边形傅里叶谱方法以及经典傅里叶谱方法进行比较研究。理论上六边形傅里叶谱方法要比经典傅里叶谱方法的采样效率高出13％，但在实际中，13％是很小的比例，在数值实验中并不能明显地体现出采样优势。为了便于对数值实验结果进行比较，我们对三种傅里叶谱方法采用相同数量的采样点。　　 首先我们对六边形傅里叶谱方法、对偶六边形傅里叶谱方法以及经典的傅里叶谱方法进行正确性验证，数值实验结果显示三种傅里叶谱方法具有同样的精确度。在接下来进行的性能比较中，对偶六边形傅里叶谱方法和经典傅里叶谱方法相对于CPU程序的加速比和GFlops的结果很接近，相对于CPU程序，它们获得了50多倍的加速比。虽然六边形傅里叶谱方法使用的CUDA版本六边形快速傅里叶变换在GPU架构上不能充分发挥性能优势，但是相对于CPU程序，它仍然获得了20倍的加速比。最后，我们使用基于三种不同傅里叶谱方法的数值模拟程序对二维各向同性湍流进行直接数值模拟，考察了在不同的初始雷诺数条件下的二维各向同性湍流的雷诺数、能量及拟涡能随着时间的演变曲线，同时也考察了不同初始雷诺数的湍流在不同时刻的能谱具有的自相似性。实验结果显示，对偶六边形傅里叶谱方法、六边形傅里叶谱方法的结果与经典傅里叶谱方法的结果是一致的。　　 数值结果的对比研究表明，对偶六边形傅里叶谱方法、六边形傅里叶谱方法和经典傅里叶谱方法一样高效精确，可以作为二维各向同性湍流直接数值模拟的另外一种选择。