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本文隶属于Brunn-Minkowski理论领域，该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支．本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究方向的发展概况．本文主要利用Brunn-Minkowski理论及L_p-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法，研究了凸体几何的极值问题．在Brunn-Minkowski理论领域关于极值问题研究方面：我们讨论了i∈R时凸体i—次宽度积分与对偶均质积分之间的关系，以及它的一些性质．推广和完善了E．Lutwak建立的当0≤i≤n时凸体i—次宽度积分的性质及其与均质积分之间的关系．我们获得了凸体i—次宽度积分的Blaschke-Santalo不等式，并建立了凸体i—次宽度积分Aleksandrov-Fenchel不等式的局部形式．我们建立了混合仿射表面积之间及其与混合投影体，质心体混合体积之间的不等式，并建立了Petty仿射投影不等式的广义形式和Busemann-Petty仿射质心体不等式的广义形式．而且研究了凸体混合仿射表面积的Blaschke-Santalo不等式，并建立了对偶Urysohn不等式的推广形式．结合E．Lutwak引进的混合体的概念，我们将Petty-Schneider定理推广到了混合体，建立了混合体的Petty-Schneider定理．并将凸体仿射表面积的Petty-Schneider定理推广到了混合体．利用混合体积的3个基本不等式，我们建立了关于混合体的Minkowski不等式，Aleksandrov-Fenchel不等式和Brunn-Minkowski不等式．在Brunn-Minkowski理论领域考虑到凸体的混合体积与星体的对偶混合体积的对偶性，我们首次提出了E．Lutwak建立的凸体混合宽度积分的对偶概念-星体的混合弦长积分，我们研究了星体的混合弦长积分的基本性质与单调性不等式，Blaschke-Santalo不等式和一些等周不等式，获得了星体的混合弦长积分的Fenchel-Aleksandrov不等式及其加强形式，这些结论与凸体混合宽度积分的相应结论具有对偶关系．而且我们建立了星体的混合弦长积分与凸体混合宽度积分的关系．另外，作为星体的混合弦长积分性质的应用，我们也建立了一个对偶的广义Bieberbach不等式．与E．Lutwak建立的广义Bieberbach不等式对偶．在L_p—Brunn-Minkowski理论领域关于几何体的度量不等式和极值问题研究方面：我们主要探讨了L_p—投影体和L_p—质心体及其极体的一些单调性不等式．