上世纪八十年代以来,二维电子气中的量子霍尔效应是凝聚态物理的一个重要研究领域。特别有意义的是,分数量子霍尔体系支持无能隙的边缘态和具有分数电荷的准粒子激发。后者满足分数统计,甚至可能满足非阿贝尔统计。近年来研究发现,具有奇异准粒子激发的分数量子霍尔体系可能是实现拓扑量子计算的首要候选系统。本论文主要研究分数量子霍尔系统中的准粒子和边缘态激发,并进一步讨论边缘激发和系统拓扑性质的关系。在二维圆盘几何中的一个包含电子之间库仑相互作用和正电荷背景的介观模型中,当填充因子为v=1／3时,系统基态可以用Laughlin波函数来描述。用一个杂质势模拟原子力显微镜实验中的探针激发准粒子时,我们发现当杂质势具有一个适当的宽度时,可以通过调节杂质势的强度来激发电荷为±e／3的准空穴和准粒子。Laughlin态的边缘激发可以描述为一支手征玻色激发模式,由于其准粒子具有阿贝尔统计性质,它们不影响系统的边缘态激发结构。在填充因子为v=5／2时,数值研究表明,微观系统支持e／4和e／2的准空穴激发态,其中e／4准空穴具有非阿贝尔统计行为,表现在体内e／4准空穴的数目的奇偶性会影响系统的边缘激发能谱。v=5／2分数霍尔态的边缘激发除了一支手征玻色激发模式以外,还有一支传播方向相同,在共形场论中可以描述为中性费米激发的分支。后者与系统非阿贝尔拓扑性质密切相关。这两支边缘激发模式有很不同的能谱结构和传播速度等性质。论文还讨论了在最低朗道能级上v=2／3的分数霍尔液体的性质。数值计算和分析发现此填充因子下的电子基态可以很好的描述为在电子整数填充背景下的v=1／3时的空穴Laughlin态。v=2／3分数霍尔液体包含两支传播方向相反的边缘激发。研究发现,边缘激发态的传播速度与量子霍尔液体的电子／空穴密度大致具有正比关系,空穴形成的v=1/3 Laughlin态的准粒子激发仍然具有±e／3的分数电荷,满足阿贝尔分数统计。近年来,单层石墨的研究受到广泛的关注。它是一种理想的二维电子结构,与一般半导体异质结中的二维电子不同的是单层石墨中的电子是无质量狄拉克费米子。有趣的是,2004年哥伦比亚大学的实验小组在室温下观测到单层石墨的整数量子霍尔效应。对无限长的理想系统的研究发现,锯齿型边界石墨在边界上具有零能表面态,而椅子型边界石墨没有这种表面态。这可以在STM实验中进行观察。但是,实际系统中由于衬底和杂质等的影响,系统并不是处于理想的状态。论文中研究了在有限系统存在各向异性的情况下单层石墨系统边缘态的性质,发现在椅子型边界石墨中也可以存在零能表面态,而锯齿型边界石墨中的表面态却可以消失。此结论有助于解释STM的一些实验结果。