【摘 要】
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除了随机扩散之外,自然界中的物种（包括微生物）往往倾向于朝着某一个特定方位移动.最常见的偏好性移动是物种朝着某种信号（食饵或化学吸引物）浓度高的位置运动,这种运动被称为趋向性运动.趋化模型（趋食模型）综合考虑了随机扩散和趋向运动的作用,成为强耦合非线性抛物型方程组,研究难度较大.探讨不同趋化模型（趋食模型）的定性性质,对于理解偏好性运动在生物系统中起的作用至关重要.一般的随机扩散指的是局部扩散,然
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除了随机扩散之外,自然界中的物种（包括微生物）往往倾向于朝着某一个特定方位移动.最常见的偏好性移动是物种朝着某种信号（食饵或化学吸引物）浓度高的位置运动,这种运动被称为趋向性运动.趋化模型（趋食模型）综合考虑了随机扩散和趋向运动的作用,成为强耦合非线性抛物型方程组,研究难度较大.探讨不同趋化模型（趋食模型）的定性性质,对于理解偏好性运动在生物系统中起的作用至关重要.一般的随机扩散指的是局部扩散,然而自然界中广泛存在着非局部扩散.相比于局部扩散的大量研究,对非局部扩散的研究要少很多.非局部扩散的形式是核函数和物种密度函数的卷积,不具备局部扩散算子△所蕴含的正则性,所以非局部扩散模型的分析比较困难.本文研究不同背景下的几类趋化（趋食）模型和局部扩散与非局部扩散耦合的方程组的自由边界问题.主要研究内容如下:首先,介绍问题的研究背景和研究现状,以及本文的主要研究内容.第二章研究高维空间中带有信号依赖型运动性质和logistic项的Keller-Segel模型的整体可解性.通过引进步函数并利用一个著名的能量估计式,经过繁琐而精细的估计和计算克服了由扩散退化带来的困难,证明了足够强的logistic效应可以保证解的整体存在性和有界性.第三章探讨高维觅食-掠夺模型经典解的整体存在性和有界性.首先考虑没有源项的情况,如果初值的某些范数和食饵的生产率很小,或者趋化效应很小,那么解整体存在且有界.其次考虑有源项且空间维数是2的情况,如果只有觅食者有源项并且掠夺者的趋向效应比较小,那么解整体存在且有界;如果觅食者和掠夺者都有源项,那么在适当的条件下解整体存在且有界.第四章考察两类趋食模型.对食饵具有无限制生长机制的趋食模型,在二维和三维空间中证明解的整体存在性.对具有两个捕食者的趋食模型,给出常值平衡解的全局渐近稳定性.第五章研究一类捕食者具有年龄结构的趋食系统.首先证明了一维情形下经典解整体存在且有界,而后讨论了常值平衡解的线性化稳定性,并验证了平衡解模式、时间周期模式的生成.第六章考察了带有间接趋食的扩散型捕食模型的动力学性质.首先给出了经典解的整体存在性和有界性.我们发现间接趋食可以阻止捕食者的增长,从而保证解的整体存在性和有界性.然后,做解的C2+α,1+α/2一致估计,并构造合适的李雅普诺夫泛函,经过一系列计算和估计,给出了非负常值平衡解的全局渐近稳定性和收敛速度.第七章研究了一个带有趋食项和自由边界的捕食模型.通过一系列繁琐的正则性估计,解决了趋食项中高阶梯度的出现所带来的困难,获得了经典解的整体存在唯一性和有界性.我们还探索了解的长时间行为:如果两个物种不能成功蔓延,那么捕食者和食饵都会灭绝;而对于两个物种能成功蔓延的情况,给出了食饵和自由边界的渐近速度的一个估计.此外,还获得了蔓延和灭绝的条件.最后,我们研究了一个非局部扩散和局部扩散耦合的方程组的自由边界问题,得到了解的整体存在唯一性并建立了经典Lotka-Volterra竞争和捕食结构的蔓延-灭绝的二择一性质和蔓延-灭绝的判别准则.结论表明,非局部扩散的出现不会影响解的整体存在性和蔓延-灭绝的二择一性质,但是会改变蔓延-灭绝的判别准则.
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