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本文基于Bell多项式和双线性算子,构造(3+1)维双线性方程、(3+1)维广义Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程和广义的六阶Boussinesq方程的双线性表达式,进而研究方程的孤子解和怪波解.着重讨论了基于Painleve截断展开法和Lie对称的方法,研究经典的Boussinesq-Burgers方程和Kaup-Kupershmidt方程的非局域对称和守恒律.非线性微分方程可以描述数学、物理、生物和金融等领域中大量的非线性现象,因此研究这些方程具有一定的潜在价值.本文主要内容如下全文共分为六章.第一章为绪论,主要地介绍了双线性、Lie对称和守恒律的发展史.第二章,基于Bell多项式和双线性算子的相关知识,通过符号计算构造出(3+1)维双线性型方程、(3+1)维广义Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程和广义的六阶Boussinesq方程对应的双线性表达式,并借助方程的双线性表达式研究孤子解、呼吸波解和怪波解.通过分析可知,在一定的极限条件下,呼吸波可以退化为怪波.第三章,通过引入合适的拟解形式,首次研究了具有时空的色散的二阶非线性薛定谔方程的两种新型的精确亮暗类孤子解及其存在条件,并用软件Maple模拟了亮暗孤子波随时间的变化传播情况.第四章,基于Hirota双线性形式,得到(3+1)维势Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程的lump型解、lump-stripe混合解、lump型解和扭结孤子解的相互作用解、周期性lump型解.通过选取不同的参数,并结合传播演化图研究了这些解的动力学性质,讨论了lump孤子和stripe孤子之间的相互作用现象,这些解及相关的性质对理解(3+1)维势Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程所描述的物理现象有帮助.第五章,通过Painleve截断展开法,首次得到经典的Boussinesq-Burgers方程和Kaup-Kupershmidt方程的非局域对称和Schwarzian形式对应的对称群.运用相容的Riccati展开法验证方程是相容的Riccati可解的.通过引入雅可比函数构造出经典的Boussinesq-Burgers方程和Kaup-Kupershmidt方程的孤子-椭圆余弦波的相互作用解.通过软件模拟,给出了孤子解与雅可比椭圆余弦周期波解相互作用的图.根据这些图象进一步分析了此类解的一些性质.另外,根据Lie对称和伴随方程得到方程的向量场进而研究了它们的守恒律.最后,进行了简单的总结与展望.