本文主要研究H∞控制理论中一些基本理论的数学结构,包括函数空间L2分解问题的构造性证明；线性系统[A, B, C,0]传递函数阵的H∞范数与线性系统[A, B, C, D]传递函数阵H∞范数之间的联系及证明的简化,和传递函数阵H∞范数计算方法；以及二次自伴矩阵多项式特征值结构及数值算法；同时给出了这些研究结果在H∞控制理论及应用中所起作用的说明或具体例子。首先对函数空间L2分解问题进行了研究。在假定H1/2如常规定义情况下,应用构造性方法详细给出：由空间L2中的函数,构造与H2及H1/2中相对应的函数的具体方法；指明了H2及H1/2中的给定函数应与L2中的那一个函数相对应。从理论上证明了这种对应在一定程度上的唯一性(即所谓的在函数类上的唯一性)。严格地证明了H2关于L2的正交补H1/2确是如常规定义所定义的在开左半面Res<0上解析,在C上取值,且一致平方可积(Lebesgue平方可积)函数x(s)的全体所构成的空间。其次深入地研究了稳定的线性系统[A,B,C,O]与稳定的线性系统[A,B,C,D]传递函数阵H∞范数是否小于1的判断条件。得到了判断线性系统[A+BR-1DTC,BR-1/2,(I+DR-1DT)1/2C,0]与[A,B,C,D]传递函数阵H∞范数是否小于1的等价定理；通过等价定理,得到了判断线性系统[A,B,C,D]的传递函数阵H∞范数是否小于1的一个等式判据；建立了稳定的线性系统[A,B,C,0]传递函数阵H∞范数是否小于1的判据与稳定的线性系统[A,B,C,D]传递函数阵H∞范数是否小于1的判据之间——对应关系。简化了判断系统[A,B,C,D]是否稳定及其传递函数阵的H∞范数大小的有关定理证明；给出了判断线性系统[A, B, C, D]传递函数阵H∞范数是否小于给定常数γ可通过判断系统[A+BR-1DTC,BR1/2, (I+DR-1DT)1/2 C,O]的传递函数阵H∞范数是否小于给定常数γ的二个推论；建立了判断线性系统[A,B,C,D]传递函数阵H∞范数是否小于给定常数γ与Hamilton矩阵在虚轴是否有零点的联系；研究并得出了Hamilton矩阵特征值及其特征多项式的特点；得到了判断Hamilton矩阵在虚轴是否有零点与相应的判断多项式是否有零点的等价定理；给出了判断Hamilton矩阵在虚轴是否有零点的详细算法；设计出计算系统[A,B,C,D]传递函数阵H∞范数详细算法,给出了数值例子及分析结果。对Madhu N.Belur与C.Praagman提出通过计算二个有一定联系的二元多项式的孤立公共零点,最后算出传递函数阵的H∞范数所用方法进行研究,给出了二个二元多项式的孤立公共零点判别方法。最后本文系统地论证了二次自伴矩阵多项式特征值、特征向量的性质。给出了二次自伴矩阵多项式特征值与任一非零向量所对应的二次多项式根之间的大小关系；精确地给出了二次自伴矩阵多项式是负定时参数的界；简化了二次自伴矩阵多项式的符号特征是正(负)的特征值对应特征向量间可以是线性无关等定理的证明。设计了一个计算二次自伴矩阵多项式是负定,正定及不定时参数的界的算法。建立了此算法与参数不确定性线性系统的鲁棒控制的联系。详细给出并论证了在建立它们之间的联系时所用的理论。具体给出了用二次自伴矩阵多项式的特征值的界,在研究参数不确定性线性系统的鲁棒控制中,分别用输出反馈作为控制输入及用状态反馈作为控制输入的设计时,怎样进一步优化闭环系统的性能指标的具体实例。指出了参数不确定性线性系统用状态反馈进行控制输入设计时,是怎样为控制器设计提供多种选择。由于对二次自伴矩阵多项式是负定时参数界的精确刻画,从理论上保证了在参数不确定性线性系统的鲁棒控制设计中,只要能满足性能要求的控制器存在,就一定能对性能指标能更精确的表示(或优化)。