目前,随着生产技术的飞速发展和理论研究的不断深入,有限环上的纠错码理论和序列密码理论的研究不仅具有重要的理论意义而且具有重要的实际应用价值。近十几年来,有限环上的纠错码理论的研究是纠错码理论研究领域的一个研究热点。环F₂+uF₂是介于环Z₄与域F₄之间的一种四元素环,因此分享了环Z₄与域F₄的一些好的性质:P.Udaya等首先将环F_p+uF_p+…+u^k-1F_p用于最优频率跳跃序列的构造,此类环上的编码理论研究成为一个新的热点。本文从多方面研究了F_p+uF_p+…+u^k-1F_p这类环上的线性码、循环码的各种性质。几十年来,研究de Bruijn序列的有效生成算法一直是序列密码研究领域的一个核心问题,由于二元数域F₂的运算的简单性,目前已有大量产生二元de Bruijn序列的生成算法,但是由于一般的有限域,特别是有限环上运算的复杂性,有限环上的de Bruijn序列的有效生成算法与实际需要还有相当大的距离。本文在四元素环Z₄和F₂+uF₂上,分别给出de Bruijn序列的一个有效生成算法。具体内容如下: 1.给出了环F₂+uF₂的Galois环的相关理论,指出此Galois环的自同构群不同于Z₄环上的Galois环的自同构群;定义了Galois环上的迹码的概念及子环子码的概念,证明了此Galois环上的一个码的对偶码的迹码是该环的子环子码的对偶码。 2.考虑环F₂+uF₂上的长度N=2^kn的循环码,给出环F₂+uF₂上任意偶长度的循环码的结构定理,更进一步给出任意长度的循环码的计数公式。 3.将Kerdock码和Preparata码的概念引入到环F_p+uF_p上,并给出Kerdock码的迹表示;当p=2时,建立了环F₂+uF₂上这两类码与域F₂上的Reed-Muller码之间的联系;并证明了一阶Reed-Muller码是环F₂+uF₂上Kerdock码的线性子码的Gray像。 4.定义了环（F_p+uF_p+…+u^kF_p）ⁿ到F_p^pkn的一个Gray映射,给出Gray映射的几个性质,并给出该环上码为循环码的一个充要条件。 5.给出环F_p+uF_p+…+u^k-1F_p上的线性码及对偶码的生成矩阵,建立了此环上的线性码及其对偶码的MacWilliams恒等式。 6.在四元素环Z₄和F₂+uF₂上,分别给出一个由低阶de Bruijn序列的反馈函数产生任意高阶de Bruijn序列的有效升级算法。