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连续时间随机行走(CTRW)模型,包含随机等待时间和随机跳跃步长两个基本要素,它是统计物理学中刻画反常动力系统的支柱.幂律的等待时间分布一般用来刻画欠扩散模型;而幂律的跳跃步长分布用来刻画Lévy飞行.基于相应的CTRW模型,可以分别导出粒子的概率密度函数满足的时间分数阶,空间分数阶和时间-空间分数阶扩散方程.当CTRW模型的随机跳跃步长是回火的形式|x|-(1+α)e-λ|x|时,其对应的粒子概率密度函数满足回火的空间分数阶扩散方程.本文的具体研究内容如下:一、对标量的非线性欠扩散方程组,本文构造了半隐式的数值格式.从理论上证明了构造的数值格式是稳定的,而且这个稳定与时间步长和空间步长的比率无关.此半隐格式在时间方向是一阶收敛的,空间方向是二阶收敛的.作为一个具体的模型,本文分析了欠扩散捕食模型数值解的性质.用构造的数值格式计算了欠扩散捕食模型,并从理论上证明了所给格式可以很好地保持解析解的正性和有界性.二、讨论了带有空间Riesz分数阶导数和时间Caputo分数阶导数的非线性的捕食扩散模型.分别使用分数的中心差分算法和转移的Grünwald-Letnikov算法对捕食模型中的空间分数阶导数进行离散.所得数值格式的稳定性和收敛性是在离散的L2范数下进行讨论的.本文理论地证明了所得格式的稳定性与收敛性都是与时间方向与空间方向的网格比无关的,并确认了给定格式是时间方向一阶收敛,空间方向二阶收敛的.之后,证明了构造格式下的数值解能很好的保持解析解的正性和有界性.多个数值实验验证了理论结果和所得格式的收敛性.三、本文提供了高阶拟紧离散Riemann–Liouville回火的分数阶导数的基本策略.CTRW模型是非平衡统计物理中许多随机过程的基础.当CTRW的跳跃步长服从幂律分布时,相应地描述Lévy飞行的Fokker-Planck方程含有空间分数阶导数.Lévy飞行的无限方差意味着粒子会有无限大的步长,而现实生活中物理空间是有界的,在这个意义下,CTRW的指数回火的幂律跳跃步长是更加‘物理’或合理的选择.对空间分数阶扩散方程,本文用一个高阶紧算法离散,并用Fourier分析法讨论了格式的稳定性.此外,数值地求解了回火的分数阶扩散方程,数值实验结果可以很好地吻合理论结果.四、侧重于寻求离散回火的分数阶导数的高阶拟紧数值算法.由于回火的分数阶导数中回火因子的存在,导致方程离散格式的稳定性分析方法与经典的分数阶扩散方程有很大差异.本文引入了一些分析技术来证明稳定性:结合矩阵的生成函数和Weyl定理,严格证明了格式的稳定性.本文还从多个方面验证了格式的有效性及误差阶.