时间序列是研究相依数据的重要工具,时间序列分析是统计学的一个主要分支,相关的理论方法和实践应用一直是国际前沿和热点问题.传统的时间序列模型处理的主要是连续型数据,建模整值数据的效果并不好,而整值数据在日常生活和生产实践中广泛存在,例如:某传染病每日新增的确诊人数,保险公司每个月的理赔次数等等,因此,整值时间序列的建模和统计推断应运而生,成为备受人们关注的研究方向和探索领域.本文的主要内容分为三个部分.首先,我们考虑一类一阶广义随机系数整值时间序列模型,采用经验似然统计法讨论了参数的点估计、置信域和假设检验等问题.其次,我们考虑一类一阶随机系数混合整值自回归模型,给出了参数的两步最小二乘估计方法,建立了估计量的大样本性质,并且基于此讨论了稀疏参数的随机性假设检验问题.最后,我们考虑一类二阶随机系数整值自回归模型,研究了参数的估计方法和模型是否为二阶的假设检验问题.下面具体介绍本文的统计模型和主要结果.1.广义随机系数INAR（1）模型的经验似然推断为了使得整值时间序列模型灵活多变,应用广泛,Gomes et al.（2009）提出了一类广义随机系数INAR（1）模型.定义1若过程{Xt,t∈N}满足如下递归方程:Xt=φt（?）G Xt-1+εt,t ∈ N,则称{Xt,t ∈ N}为GRCINAR（1）模型,其中（ⅰ）{φ,t≥1}为取正值的i.i.d.随机变量序列,其均值和方差分别记为φ=E（φt）和σ12=Var（φt）.分布函数记为Pφ1.（ⅱ）{εt,t≥1}为取非负整值的i.i.d.随机变量序列,其均值和方差分别记为λ=E（εt）和σ22=Var（εt）.概率分布列为fe.（ⅲ广义算子φt（?）G Xt—1的定义为:（?）t（?）G Xt-1|φt Xt-1～G（φtXt-1.δtXt-1）.这里G（φtXt-1,δtXt-1）表示一个离散型随机变量的分布,其均值为φtXt-1,方差为δtXt-1.（ⅳ）X0、{φt≥ 1}和{εt,t ≥ 1}相互独立.Gomes et al.（2009）给出了模型参数的条件最小一二乘和条件极大似然估计方法,我们主要考虑它们的经验似然推断方法.记θ=（φ,λ）T,易知其对数经验似然比统计量为#12其中#12 b（θ）满足#12我们可以得到对数经验似然比统计量的渐近分布.定理1如果{Xt,t∈N}是严平稳遍历的,且E（Xt4）<+∞,那么（?）,n→+∝.根据上述定理,可以基于经验似然法构造参数的置信域.定理2如果{Xt,t ∈N}是严平稳遍历的,且E（Xt4）<+∞,那么参数θ的置信水平为100（1-α）%的置信域为:Cα,nEL={θ|l（θ）≤cα},其中0<α<1,cα满足P（x2（2）≥cα）=α.另一方面,θ的极大经验似然估计可以通过极小化lE（θ）得到,即#12其中#12下列定理给出了θMEL的渐近性质.定理3如果{Xt,t∈N}是严平稳遍历的,且E（Xt4）<+∞,那么参数θ的极大经验似然估计θMEL是相合的,并且有（?）（θMEL-θ0）（?）N（0,V-1W（θ0）V-1）,n→+∞,其中θ0为θ的真值,#12#12在实际应用中,我们有时还会考虑参数θ的假设检验问题:H0:θ=θ00 v.s.H1:θ≠θ0.基于经验似然方法.我们可以构造如下经验似然比统计量:Q（θ）=l（θ）-l（gMEL）.且可以得到它的极限分布:定理4如果{Xt,t ∈ N}是严平稳遍历的,且E（Xt4）<+∞.在原假设H0成立的条件下,我们有Q（θ0）（?）λ2（2）,n→+∞.由此,可以构造显著性水平为α的拒绝域为Wn,α={Q（θ0）≥ cα},其中cα满足P（X2（2）≥cα）=α.2.随机系数混合INAR（1）模型的统计推断为了克服经典混合INAR（1）模型稀疏参数为常数的局限.我们提出一类随机系数混合INAR（1）模型.定义2称满足如下递归关系的过程{Xt.t ∈ N}为RCMINAR（1））模型:#12其中“（?）”和“*”分别表示二项稀疏算子和负二项稀疏算子,并假设（ⅰ）{φt,t≥1}为取值在（0,1）上的i.i.d.随机变量序列,其分布函数记为Pφ1,均值和方差分别为φ=E（φt）和σ12=Var（φt）;（ⅱ）{εt,t ≥ 1}为取非负整值的i.i.d.随机变量序列,其概率分布列记为fε,均值和方差分别为λ=E（εt）和σ=Var（εt）;（ⅲ）X0、{φt,t≥ 1}和{εt,t≥1}相互独立.（ⅳ）对任意固定的t和s（t≠s）,εt与{Bi（t-l）,i≥1}和{Wi（t-l）,i≥1}（l≥0）都独立,且{Bi（t）,i≥1}与{Bj（s）,j≥1}独立,{Wi（t）,i≥1}与{Wj（s）,j≥1}也独立（ⅴ）对于任意t,s≥ 1,给定φt,{Bi（t）,i≥1}与{Wi（t）,i≥1}独立.我们首先得到了模型存在唯一严平稳遍历解的条件.定理5如果0<σ12+φ2<1,那么RCMINAR（1）模型{Xt,t∈N}存在唯一的严平稳遍历解.接下来,我们讨论模型参数的估计问题.对于η=（φ,λ）T,我们有#12其中Yt=（Xt-1,1）T.为了估计θ=（σ12,p,σ22）T,我们采用两步最小二乘估计法.记δ=(σ12,（1-2p）（σ12+φ2）+φ,σ22T,Zt=（Xt2₁,Xt₁,1）T,可得δ的估计为#12注意到δ是η的函数,记为δ（η）.把η的最小二乘估计代入上式,得到δ（η）,从而可以给出θ的最小二乘估计为θ1＝σ12=δ1（η）,θ2=p=1/2-δ2（η）-η1/2(δ1（η）+η12,θ3=σ22=δ3（η）,其中,θ1、θ2θ3与δ1（η）、δ2（η）和δ3（η）别是θ与δ（η）的三个分量,η1是η的第一个分量.下列定理给出了估计量的大样本性质.定理6如果{Xt,t∈N}是严平稳遍历的,且E（Xt8）<+∝,那么（?）,n→+∞.协方差矩阵为#12其中V=E（YtYtT）,Φ=E[（Xt-YtTη0）2YtYtT],U=E（ZtZtT）,Δ=E[（VZ-trδ0）2ZtZtT],Π=E[（Vt-ZtTδ0）（Xt-YtTη0）ZtYtT].定理7如果{Xt,t∈N}是严平稳遍历的,且E（Xt8）<+∞.那么（?）,n→+∞,其中#12最后,我们研究了如下假设检验问题:H0:σ12=0 v.s.H1:σ12>0.令e=（0,0,1,0,0）T,那么可以构造检验统计量并得到它的渐近分布如下:（?）,n→+∞.基于此,我们可以得到显著性水平为α的拒绝域为#12其中uα/2为标准正态分布的上α/2分位数,Ω是Ω的相合估计.3.一类随机系数INAR（2）模型的统计推断在稀疏参数为常数的INAR（2）模型基础上我们建立一类随机系数INAR（2）模型.定义3称满足如下递归关系的过程{Xt,t∈N}为BRCINAR（2）模型;#12其中,稀疏参数α1,α2 ∈（0,1）是常数,{εt}是均值为λ,方差为σε2非负整值i.i.d.随机变量序列,并且与{Xt-1}独立.我们首先得到了模型存在唯一严平稳遍历解的条件.定理8假设α1,α2 ∈（0,1）和p1,p2 ∈（0,1）,那么BRCINAR（2）模型{Xt}存在唯一的严平稳遍历解.接下来,我们利用两步最小二乘法估计模型的未知参数.记η=（β1,β2,λ）T,其中β1=p1α1,β2=p2α2,那么η=M-1b,其中#12#12令0=（α1β1-β12,α2β2-β22,β1-α1β1,β2-α2β2,2β1β2,σε2）T,那么#12其中Vt=Xt-β1Xt₁-β2Xt₁-λ,Zt=（Xt2₁,Xt-22,Xt-1,Xt-2,-Xt-1Xt-2,1）T.把η的估计代入θ（η）,得到的结果记为θ（η）,则可以解得α1,α2,p1,p2的估计为α1=θ1（η）+η12/η1,α2=θ2（η）+η22/η2,p1=η12/θ1（η）+η12,p2=η22/θ2（η）+η22,其中.η1.η2和θ1（η）.θ2（η）分别为η和θ（η）的分量.下列定理给出了估计量的渐近性质.定理9 假设（Xt）是严平稳遍历过程,并且E|Xt|8<+∞,那么（?）,n→+∞,协方差矩阵为#12其中#12Γ=EZtZtT.W=E（（Vt-ZtTθ）2ZtZtT）,Π=E（（Vt-ZtTθ）（Xt-ηTDt）ZtDtT）,Dt=（Xt-1,Xt-2,1）T,定理10 假设{Xt}是严平稳遍历过程,并且E|Xt|8<+∞,那么α1,α2,p1和p2分别是参数α1,α2,p1和p2的相合估计,且（?）（α1-α1,α2-α2,β1-β1,β2-β2）T（?）N（0,ΦΩΦT）,其中#12最后,我们研究如下假设检验问题:H0:α2==0 vs.H1:α2>0.我们构造检验统计量（?）（α2-α2）/γ.其中γ=β22ω22+（β22-θ2）2ω88+2β2（β22-θ2）ω28/β24.这里ω22、ω28和ω88分别是Ω对应位置元素的相合估计.可以证明,检验统计量的渐近分布为标准正态分布.基于此,不难获得假设检验问题的拒绝域.