1990年，Pardoux和Peng首次证明了非线性倒向随机微分方程(简称，BSDE)解的存在性和唯一性[46].在[49]，Peng首先得到了BSDE和抛物型偏微分方程(PDE)的关系，且在[48]中研究了基于BSDE的最优控制问题的随机最大值原理，随之BSDE的相关理论和数值计算分析发展的十分迅速.相应地，国际上正倒向随机微分方程(简称，FBSDEs)也随着正向随机微分方程(简称，SDE)和BSDE的发展得到了广泛深入的理论和应用研究.而且FBSDEs的研究成果在许多领域，如金融数学、风险度量、随机控制、博弈理论、物理、化学、航天以及随机偏微分方程等数学领域有很重要的应用[4,9-11,17,19-21,23,26,27,32,37,38,40,42,44,45].　　至今，FBSDEs理论已经成为概率论及随机分析理论中的一个重要分支.但是到目前为止，FBSDEs的计算理论还并不丰富，绝大多数计算结果的精度较低，很多这方面问题的研究尚处于初级阶段，难以达到实际应用的要求.随着FBSDEs科学计算的深入研究，需要研究求解FBSDEs的新方法.结合FBSDEs理论和科学计算理论，需要用创新性思维提出求解FBSDEs的新方法，研究方法的收敛性、稳定性，进行理论数值分析和误差估计.这些研究对深刻理解FBSDEs的特性、丰富发展FBSDEs科学计算理论、加快FBSDEs实际应用都有重要的意义。本文旨在从FBSDEs的理论出发，研究FBSDEs的高精度数值求解方法，理论误差估计以及算法实现.　　到目前为止，关于数值求解FBSDEs的数值方法大概分为两类:一类是基于FBSDEs和相应抛物型PDE的关系，通过求解PDE的粘性解达到求解FBSDEs的目的;另一类是通过对FBSDEs直接数值离散得到相应的数值计算格式来求解FBSDEs的数值解.我们研究的求解FBSDEs的高精度数值格式的方法是后一类方法.　　本论文主要从正倒向随机微分方程的特性出发，结合确定性科学计算理论，系统研究非耦合正倒向随机微分方程(简称，decoupled FBSDEs)、弱耦合正倒向随机微分方程(简称，weakly coupled FBSDEs)以及带跳的非耦合正倒向随机微分方程（简称，decoupled FBSDEs with jumps)的高阶数值求解方法，严格地数值理论分析所提格式的稳定性、收敛性，得到格式的误差估计，通过数值模拟分析格式的高效高精度性，研究所提方法在金融、随机控制等方面的应用。　　下面将介绍论文的主要内容以及论文的结构.　　第一章引言，介绍了第三章到第六章中我们研究的主要问题.　　第二章，介绍了正向随机微分方程和带跳的正向随机微分方程解的存在唯一性定理，列举一些简单的求解正向随机微分方程和带跳的正向随机微分方程的数值格式以及真解和数值解之间的关系.　　第三章，主要研究非耦合正倒向随机微分方程(decoupled FBSDEs)的一步数值计算方法.我们研究的方法是:　　(1)利用随机分析和FBSDEs理论，通过条件数学期望，将FBSDEs变为相对确定的积分方程;　　(2)利用科学计算中的数值积分理论，在时间方向上用数值积分高精度近似得到的确定性方程中的积分;　　(3)用Gauss数值积分公式准确近似(2)中的条件期望;　　(4)用数值代数，求解(3)得到的方程组，得到高精度格式;　　(5)利用随机分析理论、FBSDEs理论和科学计算理论，分析格式的稳定性、收敛性和误差.　　本章的创新之处:通过随机分析、FBSDEs理论和确定型科学计算理论的结合，提出求解FBSDEs的高精度数值格式.具体创新点如下:　　(1)构造一种新的特殊的标准布朗运动;　　(2)利用构造的新的布朗运动，提出求解非耦合正倒向随机微分方程的高精度数值格式，得到稳定性、收敛性和误差估计;　　(3)对求解非耦合正倒向随机微分方程的高精度数值格式进行算法实现.　　本章来自于:　　Zhao,W.，Zhang,W.，and Ju,L.，A Numerical Method and its Error Estimates for the Decoupled Forward-Backward Stochastic Differential Equations,Commun.Comput.Phys.15(2014),pp.618-646.　　在第三章研究内容的启示下，第四章主要研究求解非耦合正倒向随机微分方程的多步数值计算方法.首先我们提出全新的倒向正交多项式的概念，基于该倒向正交多项式构造新的特殊的标准布朗运动;然后利用构造的新的布朗运动，提出非耦合正倒向随机微分方程的高精度数值格式，严格地理论证明了这一新的多步数值格式的稳定性，得到了多步方法的高阶误差估计;最后通过数值实验同样得到了高精度数值格式的收敛阶，从而验证了理论结果的正确性.　　本章来自于:　　Zhao,W.，Zhang,W.，and Ju,L.，A multistep scheme for decoupled forward-backward stochastic differential equations，已投稿.　　第五章，考虑弱耦合正倒向随机微分方程的相关问题，其中弱耦合是指正向随机微分方程的系数函数是依赖倒向随机微分方程的解Y的，但不依赖于过程Z.对该问题进行研究得到了高精度的数值格式.　　(1)改进了一种求解弱耦合正倒向随机微分方程的数值格式，这种格式我们称之为改进的Euler数值格式和改进的Markovian迭代数值格式.随后对原数值格式和改进的数值格式进行了严格的理论误差分析，时间方向上证明了原Euler数值格式和改进的Euler数值格式都具有一阶的时间收敛性，原Markovian迭代数值格式和改进的Markovian迭代数值格式均是收敛的.　　(2)利用第三章中使用的方法对(1)所提出的改进的数值格式进行了时间方向上的收敛性证明，证明了所提格式具有一阶的时间离散高精度收敛性，数值算例验证了这一点.　　创新之处:　　(1)改进的Euler数值格式和改进的Markovian迭代数值格式在计算时明显减少了求解条件期望需要的计算量，在时间上得到了极大的改善.　　(2)收敛性分析表明，收敛精度从原来的半阶提高到一阶，同样是另一个极大的改善.　　本章来自于:　　Zhang,W.，Zhao,W.，Euler-type schemes for weakly coupled forward-backward stochastic differential equations and the optimal convergencean alysis,Frontiers of Math ematicsin China,DOI:10.1007/s11464-014-0366-6,2014.　　Error estimates of the numerical scheme for solving weakly coupled forward-backwards to chastic differential equations，已完成.　　第六章，研究带跳的正倒向随机微分方程的相关理论，提出求解带跳的正倒向随机微分方程的高精度数值格式，并进行相关的理论误差分析.首先，明确了补偿泊松过程驱动的带跳的正倒向随机微分方程和补偿泊松随机测度驱动的带跳的正倒向随机微分方程的不同以及各自的性质.然后，考虑由补偿泊松随机测度驱动的带跳的倒向随机微分方程和带跳的非耦合正倒向随机微分方程的问题.研究带跳的正向随机微分方程的伊藤泰勒展开公式，随后提出新的算子应用于求解的方程，给出求解问题方程的参考方程.接着根据参考方程提出求解问题方程的高精度数值格式，并对所提的数值格式进行严格的理论误差分析，最后用数值算例来验证所提格式的高阶收敛性.　　本章来自于:　　A new kind of accurate discrete-time approximation of backward stochastic differential equation with jumps.已完成.　　Second order numerical scheme and error estimates of solving decoupled forward backward stochastic differential equationis with jumps.已完成.　　以下是本文的章节目录及主要结论.　　一、第一章引言;　　二、第二章正向SDE和带跳的正向SDE;　　三、第三章非耦合FBSDEs的一步数值格式和误差估计;　　四、第四章非耦合FBSDEs的多步数值格式和误差估计;　　五、第五章弱耦合FBSDEs的改进数值格式及其误差估计;　　六、第六章带跳的非耦合FBSDEs的高精度数值格式及误差估计.　　第三章:首先构造一种新的标准的布朗运动△Ws，利用这种新的布朗运动提出一种新的非耦合正倒向随机微分方程的一步高精度数值格式.理论上，在一般情形下严格地分析了所提格式的误差，然后当正向随机微分方程使用不同精度的格式求解时，对每一种情况给出了特殊的误差分析;特殊地，当正向随机微分方程使用弱2.0阶数值格式进行求解时，所提出的求解正倒向随机微分方程的数值格式是二阶高精度格式.随后给出数值算例，表明所提格式的精度的确是二阶的，同时也验证了理论误差结论是正确的.　　考虑下面的非耦合正倒向随机微分方程:{Xt=X0+∫t0b(s，Xs)ds+∫t0σ(s，Xs)dWs，t∈[0，T]，Yt=ψ(XT)+∫Ttf(s,Xs，Ys,Zs)ds-∫TtZsdWs，t∈[0，T].　　通过引入新的布朗运动:△(W)s=2△Ws-3/△tn∫stn(r-tn）dwr.得到求解decoupledFBSDEs的一步数值格式:　　格式3.1.1.(Xn，Yn，Zn)是（Xt，Yt，Zt）在时间t=tn处的数值解，通过下面的方程<收稿日期>=组来求解(Xn，Yn，Zn)，其中n=N-1，N-2，…，1，0，Xn+1=Xn+φ（tn，Xn，△tn,△Wn,1，ξn+1），Yn=EXntn[Yn+1]+1/2△tnfn+1/2△tnEXntn[fn+1]，1/2△tnZn=EXntn[Yn+1△(W)*n，1]+△tnEXntn[fn+1△(W)*n，1].这里φ表示的是经典的求解SDE的数值格式，例如:Euler格式、Milstein格式以及一些强收敛格式、弱收敛格式等等.　　对上面的一步数值格式，我们有下面的误差结论.　　定理3.3.1.令（Xt，Yt，Zt），t∈[0，T]以及(Xn，Yn，Zn)，n=0，1，…，N，分别表示非耦合FBSDEs(3.1)的精确解和由格式3.1.1得到的数值解.假设函数f(t,X，Y,Z)对X，Y和Z满足Lipschitz连续性，并且Lipschitz常数是L.这里c0是由(3.2)定义的时间剖分的正则性系数.那么对于足够小的时间步长△tn，下面的不等式成立E[|eny|2]+△tN-1∑i=n(1+C△t/1-C△t)i-nE[|eiz|2]≤C(E[|eNy|2]+△tE[|eNz|2])+N-1/Σi=n(1+C△t/1-C△t)i-nCE[|Riy1|2+(△t)2|Riy2|2+|Riy|2]/△t(1-C△t)+N-1Σi=n(1+C△t/1-C△t)i-nC△tE[(1/△n)2|Riz1|2+|Riz2|2+(1/△tn)2|Riz|2]/1-C△t这里n=N-1，...，1，0，其中C是一个依赖于c0和L的正常数，C是一个依赖于c0，T和L的正常数.Riy和Riz在方程(3.9)和(3.16)中有定义，并且Rny1=EX1tn[Ytn,Xntn+1-(Y)tn,Xntn+1],Rny2=EXntn[ftn,Xntn+1-(f)tn,Xntn+1],Rnz1=EXntn[(Ytn,Xmn+1-(Y)tn,Xntn+1)△(W)*n,1],Rnx2=EXntn[ftn,Xmn+1-(f)tn,Xntn+1)△(W)*n,1].　　引理3.4.1.如果f(t，x，y，z)∈C2b,4,4,4，b(t,x)，σ(t，x)∈C2,4b，ψ∈C4+αb，α∈(0，1)和|b(t，x)|2≤K(1+|x|2)，|σ(t,x)|2≤K(1+|x|2)，那么对充分小的时间步长△tn，我们对任意0≤n≤N-1，有E[|Rny|2]≤C(1+E[|Xn|8])(△t)6,其中C是一个依赖于T，K以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上确界的正常数.　　引理3.4.2.引理3.4.1的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，我们对任意0≤n≤N-1，有|∫tn+1tnEXntn[ftn,Xns△(W)n，1]ds-△tnEXntn[ftn,Xntn+1△(W)n，1]|2≤C(1+EXntn[|Xn|8])(△tn)6，其中C是一个依赖于T，K，以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上确界的正常数.　　引理3.4.3.引理3.4.1的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，我们对任意0≤n≤N-1，有|1/2△tnZtn,Xntn-EXntn[（∫tn1tnZtn,XnsdWs）△(W)n,1]|2≤C（1+EXntn[Xn|8]）（△tn）6，其中C是一个依赖于T，K，以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上确界的正常数.　　引理3.4.4.引理3.4.1的条件成立，那么对于充分小的时间步长△tn，对任意的0≤n≤N-1，有|Rnz|2≤C（1+EXntn[|Xn|8]）(△t)6，其中C是一个依赖于T，K，以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上确界的正常数.　　定理3.4.1.假设2.3.2和引理3.4.1的条件成立.那么对于充分小的时间步长△tn，我们对任意0≤n≤N-1，有E[|ent|2]+△tN-1∑i=nE[|eiz|2]≤C1(E[|eNy|2]+△tE[|eNz|2])+C2(△t2β+△t2γ+△t4),其中C1是一个依赖于c0，T和L的正常数，C2是一个依赖于c0，T，L,K，方程(3.1)的解Xt的初值，以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上确界的正常数.　　第四章:首先从概念上提出了一类新的正交多项式{Pi(s)}Li=0，我们称之为倒向正交多项式.随后研究了提出的倒向正交多项式的性质.利用该倒向正交多项式，构造了一种新的布朗运动△(W)tn，s=∫stnPKz(r)dWr，结合这一新的布朗运动和倒向随机微分方程，提出了求解正倒向随机微分方程的新的多步数值格式.严格地理论证明了这一新的多步数值格式的稳定性，得到了多步数值格式的高阶误差估计.最后通过求解数值算例，验证了理论误差分析和数值计算结果一致.　　在这一章，仍然考虑第三章的非耦合正倒向随机微分方程，在本部分将给出多步数值格式，定义和主要的结论.　　定义4.1.1.我们称一组定义在区间[0，1]上的多项式{Qi(s)}Li=0为倒向正交多项式，如果Qi(s)∈Pi[0，1]，i=0，1,...，L，并且下面的条件成立∫10Qi(s)ds=1,∫10Qi(s)sjds=0,1≤j≤i.　　引理4.1.1.定义在区间[0,1]上的多项式集合{Qi(s)}Li=0满足条件(4.3).令Qi(s)=∑ij=0ai,jsj，那么对于i=0，1,...，L,ai,j由下面的式子确定iΣj=0ai,j/j+1=1,iΣj=0ai,j/j+m+1=0,1≤m≤i.　　引理4.1.2.令{Pi(s)}Li=0是区间[a，b]上的倒向正交多项式.那么我们有P0(a)=1和Pi(a)＞1，1≤i≤L.　　引理4.1.3.令{Pi(s)}Li=0是区间[a,b]上的倒向正交多项式.假设函数g(s)的直到i+1阶导数g(i+1）有界，那么对0≤i≤L，我们有∫baPi(s)g(s)ds=g（a）(b-a)+O（（b-a）i+2）.　　格式4.2.1.令K=max{Ky，K2，Kf}.{Xn}Nn=0是正向随机微分方程的数值解.给定随机变量X0，YN-i和ZN-i，i=0，1，…，K-1.那么对n=N-K，...，0，　　1.使用下面的格式解Zn:Zn=1/△tnEXntn[Yn+1△(W)*n,1]+KfΣi=1bnKf,iEXntn[fn+i△(W)*n,i],　　2.使用下面的格式解Yn:Yn=EXntn[Yn+1]+△tnKy∑i=0bnKy，iEXntn[fn+i].　　引理4.3.2.假设N和K是两个非负整数并且N≥K，△t是任意正数.假设{an}，{bn}和{Rn}，n=0，1,...，N是非负的，并且满足下面的不等式an+C1△tbn≤(1+C2△t)an+1+C3△tK∑i=1(an+i+bn+i)+Rn，这里0≤n≤N-K，C1，C2和C3是正常数.令Ma=maxN-K+1≤i≤Nai，Mb=maxN-K+1≤i≤Nbi和(T)=N△t.如果对常数C4＞0，C1-C3K≥C4成立，那么对n=N-K,N-K-1,...，0，下面的式子成立an+△tN-K∑i=nbi≤C[aN-K+1+△tK(Ma+Mb）+N-K∑i=0Ri]，其中C是一个依赖于C1，C2，C3，K和(T)的正常数.　　定理4.3.1.令(Xt，Yt，Zt)，t∈[0，T]和(Xn，Yn，Zn)，n=0，1,...，N分别表示非耦合FBSDEs的真解和由多步数值格式4.2.1得到的近似解.假设函数f(t，Xt，Yt，Zt)对Xt，Yt和Zt是Lipschitz连续的，并且Lipschitz常数是L.令c0是由(4.6)定义的时间剖分的正则参数.令K=max{Ky，Kz，Kf}，B=max{BKy，BKf}以及(P)Kz=max0≤s≤Kc0QKz(s).同时Mey=maxN-K+1≤i≤NE[|eiy|2]以及Mez=maxN-K+1≤i≤NE[|eiz|2].那么如果时间步长△t充分小，那么对于n=N-K，N-K-1,...，0，下面的不等式成立E[|eny|2]+△tN-K∑i=nE[|eiz|2]≤C[E[|eN-K+1y|2]+△t(Mey+Mez)+N-K∑i=0{1/△t(E[|Riey|2]+(△t)2K∑j=0[|Ri+jef|2]+E[|Riy|2])+1/△t(E[|Riwy|2]+(△t)2K∑j=1E[|Ri+jwf|2]+E[|Riz|2])}],其中C是一个依赖于c0，T，L，B，K，QKz(0)和(P)Kz的常数，Riy和Riz分别由(4.14)和(4.19)定义，同时Riey=EXiti[Yti,Xiti+1-(Y)ti,Xiti+1],Ri+jef=EXiti[fti,Xiti+j-(f)ti,Xiti+j],Riwy=EXiti[Yti,Xii+1-(Y)ti,Xiti+1)△(W)*i,1],Ri+jwf=EXiti[(fti,Xii+j-(f)ti,Xiti+j)△(W)*i,j].　　引理4.4.2.令Rny和Rnz是定义在参考方程(4.14)和(4.19)中的局部截断误差.那么在假设4.4.1下，我们有下面的局部估计:|Rny|≤C(△t)Kt+2,|Rnz|≤C(△t)Kf+2-Kz+(△t)Kz+2,其中C＞0是一个依赖于T，以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上确界的常数.　　定理4.4.1.假设4.4.1和假设2.3.2成立，并且假设初始值满足Mey=O((△t)Ky+1)和Mez=O((△t)Kf+1-Kz+（△t)Kz+1）.令K=max(Ky，Kz，Kf)，B=max{BKy，BKf}以及(P)Kz=max0≤s≤KcoQKz(s).如果用β阶弱泰勒格式来解SDE(4.1)，那么在格式4.2.1中，β=γ=K+1，那么对0≤n≤N-K，我们有下面的误差估计:E[|eny|2]+△t∑E[|eiz|2]≤C[(△t)2(K)+2+(△t)2Ky+2+(△t)2Kg+2-2Kz+(△t)2Kz+2]，其中C是一个依赖于c0，T，L,K，B，QKz(0)，(P)Kz，方程(4.1)的解Xt的初始值，以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上确界的常数.　　第五章:在这一章节，介绍了一种新的求解弱耦合正倒向随机微分方程的Euler数值格式和它的迭代格式—Markovian迭代数值格式.尽管改进的数值格式和原来出现在[6]中的数值格式有一些共性，但是改进的格式计算量明显比原来的数值格式小，随后对改进的Euelr数值格式进行了误差分析和理论证明，证明了改进的Euler数值格式具有一阶收敛性，从而改进了原来的求解弱耦合正倒向随机微分方程的Euler数值格式的半阶收敛性结论，最后给出了数值算例同样验证了格式的收敛精度是一阶的，　　在这一部分我们考虑弱耦合正倒向随机微分方程:{Xt=X0+∫t0b（s，Xs，Ys）dt+∫t0σ（s，Xs，Ys）dWs，(SDE)Yt=ξ+∫Ttf(s，Xs，Ys，Zs)ds-∫TtZsdWs，(BSDE)　　格式5.1.3.（改进的Euler数值格式）给出随机变量X0，YN和ZN.对n=N-1，N-2，…，0，我们使用下面的数值格式来求解随机变量Xn，Yn和ZnXn+1=Xn+b(tn，Xn,Yn)△tn+σ(tn,Xn,Yn)△Wn,1,Zn=1/△tnEXntn≤[Yn+1△W*n，1]，Yn=EXntn[Yn+1]+△tnf（tn,Xn，EXntn[Yn+1],Zn）.　　格式5.1.4.（改进Euler数值格式的Markovian迭代格式）给出X0,m，YN,m=ψ(XN，m)并且令un，0(X0，m)=0.对n=N-1，N-2，...，0，我们使用下面的数值格式来求解Xn,m，Yn,m和Zn,m{Xn+1,m=Xn,m+b(tn，Xn，m,un，m-i(Xn，m))△tn+σ(tn，Xn,m，un,m-1(Xn，m))△Wn，1，Zn,m=1/△tEXntn[Yn+1，m△W*n，1]，Yn,m=EXntn[Yn+1,m]+△tnf(tn,Xn,m,EXntn[Yn+1,m],Zn,m),un，m(Xn,m)=Yn，m.　　定理5.3.1.(i)令（Xt，Yt，Zt），t∈[0，T]和(Xn，Yn，Zn)，n=0，1，...，N，分别是弱耦合FBSDEs方程(5.1)的精确解和格式5.1.1或者格式5.1.3的数值解.假设5.2.3和　　假设5.2.4成立.那么对于充分小的时间步长△t，对n=N-1，N-2，...，0，下面的估计式成立E[|Ytn,Xntn-Yn|2]+△tN-1∑i=nE[|Ztn,Xnti-Zi|2]≤C（△t)2.　　(ii)进一步，如果(Xn，m，Yn，m，Zn，m)，n=0，1，...，N和m=0，1，2，...，是格式5.1.2或者格式5.1.4的近似解，那么存在常数C＞0以及0＜c＜1使得，对充分小的时间步长△t，我们有下面的估计式成立E[|Ytn,Xntn-Yn,m|2]+△tN-1∑i=nE[|Ztn,Xnti-Zi,m|2]≤C[mcm+（△t)2].这里C是一个不依赖于时间剖分和数值格式近似解的正常数.　　引理5.3.2.在假设5.2.4下，对充分小的时间步长△t，我们对任意0≤n≤N-1有下面的误差估计:E[|Rny|2]≤C(△t)4,E[|Rn2]≤C(△t)4,其中C是一个不依赖于时间剖分和近似解的正常数.　　引理5.3.4.令（Xt，Yt，Zt），t∈[0，T]以及((X)n，(Y)n，(Z)n），n=0，1，...，N，是弱耦合FBSDEs(5.1)的精确解和由方程(5.17)，(5.18)和(5.19)获得的近似解.假设函数f(t，X，Y,Z)对X，Y和Z是一致Lipschitz连续的.那么对于充分小的时间步长△t，对n=N-1，N-2，...，0，下面的估计式成立E[|eny1|2]+△tN-1Σi=nE[|eiz1|2]≤CE[|eNy1|2]+C(N-1Σi=nE[|Riy1|2/△t+△t|Riy2|2+|Riy|2/△t]+N-1Σi=nE[|Riz1|2/△tn+|Riz|2/△tn]),其中Riy和Riz是由(5.14)和(5.15)定义的，并且Rny1=EXntn[Ytn,(X)ntn+1-(Y)tn,(X)ntn+1],Rny2=ftn,(X)ntn+1],Rny2=ftn,(X)ntn+1-(f)tn,(Xn)tn+1,Rnz1=EXntn[(Ytn,(X)ntn+1-(Y)tn,(X)ntn+1)△W*n,1].并且如果假设5.2.4成立，我们有下面的估计:E[(Rny)2]≤C(△t)4,E[(Rnz)2]≤C(△t)4,并且E[（Rny1）2]≤C(△t)4，E[（Rny2）2]≤C(△t)4，E[(Rnz1)2]≤C(△t)4.使用(5.24)，有E[|eny1|2]+△tN-1∑i=nE[|eiz1|2]≤C(△t)2.这里C是一个不依赖与时间剖分和方程(5.17)-(5.19)解的正常数.　　定理5.3.2.令（Xt，Yt，Zt），t∈[0，T]和(Xn，Yn，Zn)，n=0，1，...，N，分别是弱耦合FBSDEs(5.1)的精确解和格式5.1.3的近似解.假设5.2.3和假设5.2.4成立.那么对充分小的时间步长△t，对任意0≤n≤N-1，下面的估计式成立|Ytn(x）-Yn(x)|2≤C(1+|x|2)（△t)2，其中C是一个正常数.　　第六章:本章研究了带跳的正向随机微分方程的伊藤泰勒扩展公式，随后提出新的标准布朗运动和新的泊松跳运动，利用这两种新的运动给出问题的参考方程，用于提出求解带跳的倒向随机微分方程和带跳的非耦合正倒向随机微分方程的高精度数值格式，并对所提的数值格式进行严格地理论误差分析，最后用数值计算来验证所提格式的高阶收敛性.　　本章主要研究如下由补偿泊松随机测度驱动的带跳的非耦合正倒向随机微分方程:{Xt=X0+∫t0b(s,Xs)ds+∫y0σ(s,Xs)dWs+∫t0∫Ec(s,Xs-,e)(μ)(de,ds),t∈[0.T],Yt=ξ+∫Ttf(s,Xs,Ys,Zs,Γs)ds-∫TtZsdWs-∫Tt∫EUs(e)(μ)(de,ds),t∈[0,T],其中ξ=ψ（XT），Γ:=∫Eρ(e)U(e)λ(de)，sup|ρ(e)|≤K.这里W是一个d-维布朗运动，(μ)是一个独立于W的补偿泊松测度，并且(μ)（de，ds）=(μ)(de，ds)-λ(de)ds.　　在第三章构造的新的布朗运动△(W)s=2△Ws-3/△tn∫stn（r-tn）dWr，的启发下，为了高精度的求解Γ，大胆的猜测可以构造类似的补偿泊松测度△(μ)s=∫E（2-3(r-tn)/△tn）ρ(e)(μ)（de，（tn，s]）.基于此，给出求解(X，Y,Z,Γ）的高精度数值格式:　　格式6.3.1.给出随机变量X0，YN，ZN和ΓN.在定义(6.11)和定义(6.17)中，令s=tn+1.我们得到△(W)tn+1和△(μ)tn+1(0≤n≤N-1)的定义.对n=N-1，N-2，...，0，通过下面的方程组求解随机变量Yn，Zn和ΓnYn=EXntn[Yn+1]+1/2△tnfn+1/2△tnEXntn[fn+1]，1/2△tnZn=EXntn[Yn+1△(W)*tn+1]+△tnEXntn[fn+1△(W)*tn+1]，1/2△tnΓn=EXntn[Yn+1△(μ)tn+1]+△tnEXntn[fn+1△(μ)tn+1],并且Xn+1=Xn+φ（tn，Xn，△tn，△Wn，1，ξn+1）.例如:Xn+1可以由下面的弱二阶格式解出Xn+1=Xn+b△tn+σ△Wtn+∫tn+1tn∫Ec(e)(μ)(de,dz)+σσ∫tn+1tn∫z2tndWz1dWz2+∫tn+1tn∫E∫z2tnσc(e)dWz1(μ)（de，dz2）+∫tn+1tn∫z2tn∫E(σ(tn，Xn+c(e))-σ）(μ)(de,dz1)dWz2+∫tn+1tn∫E∫z2tn∫E(c(tn，Xn+c(e1)，e2)-c(e2))(μ)（de1,dz1）(μ)（de2,dz2）+（(e)b/(e)t+bb+b"/2σ2）∫tn+1tn∫z2tndz1dz2+bσ∫tn+1tn∫z2tndWz1dz2+（(e)σ/(e)t+bσ+σ"/2σ2)∫tn+1tn∫z2tndz1dWz2+∫tn+1tn∫E∫z2tn((e)c/(e)/(e)t+bc(e)+c"(e)/2σ2)dz1(μ)(de,dz2)+∫tn+1tn∫z2tn∫E(b(tn，Xn+c(e))-b）(μ)(de,dz1)dz2.　　引理6.4.2.如果f(t,x，y，z)∈C2,4,4,4b，b(t，x)，σ(t，x)∈C2,4b，ψ∈C4+αb，α∈(0，1)并且假设2.4.1成立，那么对充分小的时间步长△tn，我们对任意0≤n≤N-1，有E[|Rny|2]≤C(1+E[|Xn|8])(△t)6,其中C是一个依赖于T，K和系数函数b，σ，f以及终端函数ψ导数上界的正常数.　　引理6.4.3.如果引理6.4.2的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，任意0≤n≤N-1，有|Rn1|2=|∫tn+1tnEXntn[ftn,Xns△(W)tn+1]ds-△tnEXtn[ftn,Xntn+1△(W)tn+1]|2≤C（1+EXntn[|Xn|8]）(△tn)6，其中C是一个依赖于T，K和系数函数b，σ，f以及终端函数ψ导数上界的正常数.　　引理6.4.4.如果引理6.4.2的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，任意0≤n≤N-1，有|Rn2|2=|1/2△tnZtn,Xntn-EXntn[（∫tn+1tnZtn,XnsdW）△(W)tn+1]|2≤C（1+EXntn[|Xn|8]）(△tn)6，其中C是一个依赖于T，K和系数函数b，σ，f以及终端函数ψ导数上界的正常数.　　引理6.4.5.如果引理6.4.2的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，任意0≤n≤N-1，有|Rnz|2≤C（1+EXntn[|Xn|8]）(△t)6，其中C是一个依赖于T，K和系数函数b，σ，f以及终端函数ψ导数上界的正常数.　　引理6.4.6.如果引理6.4.2的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，任意0≤n≤N-1，有|Rn3|2=|∫tn+1tnEXntn[ftn,Xns△(μ)tn+1]ds-△tnEXntn[ftn,Xntn+1△(μ)tn+1+1]|2≤C（△tn）6其中C是-个依赖于T，K和系数函数b，σ，f以及终端函数ψ导数上界的正常数.　　引理6.4.7.如果引理6.4.2的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，任意0≤n≤N-1，有|Rn4|2=|1/2△tnΓtn,XntnEXntn[∫tn+1tn∫EUtn,Xns(e)(μ)(de，ds)△(μ)tn+1]|2≤C(△tn)6其中C是一个依赖于T，K和系数函数b，σ，f以及终端函数ψ导数上界的正常数.　　引理6.4.8.如果引理6.4.2的条件成立，那么对充分小的时间步长△tn，任意0≤n≤N-1，有|RnΓ|2≤C(1+EXntn[|Xn|8])(△t)6,其中C是一个依赖于T，K和系数函数b，σ，f以及终端函数ψ导数上界的正常数.　　定理6.4.1.令(Xt，Yt，Zt，Γt)，t∈[0，T]和(Xn，Yn，Zn，Γn)，n=0，1，...，N，分别是非耦合正倒向随机微分方程(6.1)的精确解和由数值格式6.3.1求得的数值解.假设函数f（t,Xt，T,Zt，Γt）对Zt，Yt，Zt和Γt是Lipschitz连续的，并且Lipschitz常数是L.令c0是由定义(6.4)给出的时间剖分正则参数.那么对充分小的时间步长△t，下面的估计式成立E[|eny|2]+△tN-1Σi=n(1+C△t/1-C△t)i-nE[|eiz|2+△tN-1Σi=n(1+C△t/1-C△t)i-nE[|eiΔ|2]≤C（E[|eNy|2]+△tE[|eNz|2+△tE[|eNΓ|2]）+N-1Σi=n(1+C△t/1-C△t)i-nC/1-C△tE[1/△t|Riy1|2+△t|Riy2|2+1/△t|Riy|2+1/△t|Riz1|2+△t|Riz2|2+1/△t|Riz|2+1/△t|RiΓ1|2+△t|RiΓ2|2+1/△t|RiΓ|2]其中n=N-1，...，1，0，C是一个依赖于c0和L的常数，C"是一个依赖于c0，T，L，由(6.9)和(6.16)定义的截断误差Riy和Riz，以及求解正向随机微分方程带来的弱收敛误差项Rny1，Rny2，Rnz1，Rnz2，RnΓ1和RnΓ2的常数，他们分别定义为:Rny1=eXntn[Ytn,Xntn+1-(Y)tn,Xntn+1],Rny2=RXntn[ftn,Xntn+1-(f)tn,(X)ntn+1],Rnz1=EXntn[(Ytm.Xntn+1-(Y)tn,Xntn+1)△(W)*tn+1],Rnz2=EXntn[(ftn,Xntn+1-(f)tn,Xntn+1)△(W)*tn+1],RnΓ1=EXntn[(Ytn,Xntn+1-(Y)tn,Xntn+1)△(μ)tn+1],RnΔ2=EXntn[(ftn,Xntn+1-(f)tn,(X)ntn+1)△(μ)tn+1].　　定理6.4.2.假设2.4.2和引理6.4.2的条件成立.那么对于充分小的时间步长△tn，任意0≤n≤N-1，有E[|eny|2]+△tN-1Σi=n(1+C△t/1-C△t)i-nE[|eiz|2]+△tN-1Σi=n(1+C△t/1-C△t)i-nR[|eiΓ|2≤C1(E[|eNy|2]+△tE[|eNz|2]+△tE[|eNΓ|2])+C2(△t2α+△t2β+△t2γ+△t4),其中C是依赖于c0和L的常数，C1是一个依赖于c0，T和L的常数，C2是依赖于c0，T，L，K，方程(6.1)中Xt初始值，以及系数函数b，σ，f和终端函数ψ导数上界的常数.