有限元法是求解微分方程比较有效的数值计算方法,其具有数值稳定性好、通用性强、适用性广等特点。有限元求解精度依赖于网格和单元阶次,通常情况下有限元计算网格越密,单元次数越高,有限元解的精度就越高,为了获得较高精度的有限元解答,传统有限元求解就需要加密单元网格或者提高单元阶次,这相应地导致了有限元求解计算量的快速增加,由此产生的计算代价是十分巨大的。为了解决有限元求解精度与计算代价之间的矛盾,有限元超收敛计算成了有限元研究领域的重点和热点。理论和数值结果表明,有限元单元端部结点解相对于单元内部解具有更高的精度和收敛阶,即有限元解答中的单元端部结点解具有超收敛特性。对于一维非线性问题,有限元结点解答的超收敛特性也是存在的,本文将基于有限元解答中结点解的超收敛特性,建立一维非线性有限元p型超收敛算法。全文的主要工作如下:一、对一维非线性有限元提出了p型超收敛求解策略。非线性有限元求解统一采用Newton法进行迭代求解,推导了相应的Newton迭代格式。将线性问题p型超收敛计算的思想推广应用于求解非线性问题,将单元端部的有限元解答作为单元的边界条件,利用已求得的有限元解,借助泰勒展开技术对原非线性问题进行线性化,在单个单元上建立单元解近似满足的线性常微分方程边值问题(BVP),对该局部线性边值问题采用单个高次元进行有限元求解以获得该单元上的超收敛解,对每个单元实施上述过程可获得全域的超收敛解。二、将该策略成功应用于求解四类模型问题。具体包括二阶非线性常微分方程边值问题、四阶非线性常微分方程边值问题、一阶非线性常微分方程组问题、非线性混合阶常微分方程组边值问题,推导了各模型问题的具体格式并成功进行了算法实现(Fortran程序和Maple程序)。三、对四类模型问题进行了大量的数值试验,总结了算法的收敛规律。求解了大量经典问题,对每个问题的有限元解和超收敛解答的收敛阶进行了分析,总结了超收敛解的收敛规律。数值结果表明,本文的超收敛求解方法简单高效,是一个颇具潜力的方法。另外,本文还对非线性边界条件进行了试探性的研究,提出了一套简单高效的非线性边界条件处理办法。最后,对本文工作进行了总结和展望。